Piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat: elemente caracteristice și desfășurări
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră o piramidă octogonală, adică o piramidă cu baza un octogon (poligon cu 8 laturi). a) Determină numărul vârfurilor v, numărul fețelor f și numărul muchiilor m ale acestei piramide. b) Calculează v + f – m. c) Scrie, în funcție de n, numărul vârfurilor, al fețelor și al muchiilor unei piramide care are baza un poligon cu n laturi.
2. Răspunde la fiecare cerință și justifică răspunsul. a) O piramidă regulată are, în total, 12 muchii. Ce fel de poligon este baza piramidei? b) Este adevărat că orice piramidă triunghiulară regulată este tetraedru regulat? c) Ce fel de triunghiuri sunt fețele laterale ale unei piramide patrulatere regulate VABCD cu vârful V? Ce relație există între aceste triunghiuri?
3. Piramida triunghiulară regulată VABC, cu vârful V, are muchia laterală VA = 13 cm și muchia bazei AB = 10 cm. a) Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei. b) Calculează lungimea înălțimii din V a triunghiului VAB. c) Calculează aria feței laterale VAB.
4. Tetraedrul regulat ABCD are muchia AB = 4√3 cm. a) Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului. b) Calculează lungimea înălțimii din D a triunghiului BCD. c) Calculează suma ariilor tuturor fețelor tetraedrului.
5. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V și VA = AB = 6 cm. Notăm cu O punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD. a) Calculează lungimea diagonalei AC a bazei. b) Demonstrează că triunghiul VAC este dreptunghic isoscel. c) Calculează lungimea segmentului VO.
6. Ana are o bucată de carton în formă de triunghi echilateral cu latura de 20 cm. Ea vrea să construiască din acest carton, fără lipituri suplimentare de carton, suprafața unui tetraedru regulat cu muchia de 10 cm. a) Explică, printr-un desen și în cuvinte, cum trebuie să traseze Ana liniile de îndoire pe triunghi, astfel încât să obțină o desfășurare a tetraedrului regulat. b) Justifică de ce, după îndoire, se obține un tetraedru regulat. c) Calculează aria totală a suprafeței tetraedrului obținut.
7. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V, muchia laterală VA = 8 cm și măsura unghiului AVB egală cu 45°. O furnică pornește din vârful A, merge pe suprafața laterală a piramidei, trece peste muchia VB și ajunge în vârful C. Folosind desfășurarea fețelor VAB și VBC pe același plan, determină lungimea celui mai scurt drum pe care îl poate parcurge furnica.
8. Piramida hexagonală regulată VABCDEF, cu vârful V, are muchia bazei AB = 10 cm și muchia laterală VA = 13 cm. a) Calculează aria bazei piramidei. b) Calculează suma ariilor celor șase fețe laterale ale piramidei. c) Explică de ce nu poate exista o piramidă hexagonală regulată care să aibă muchia laterală egală cu muchia bazei.