Proiecții pe un plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan, lungimea proiecției unui segment
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie ABCDA'B'C'D' un cub și O' centrul feței A'B'C'D'. Determină proiecția punctului C' pe planul: a) (ABC); b) (ADD'); c) (ACC'); d) (BDD'). Justifică fiecare răspuns.
2. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V, {O} = AC ∩ BD, și M mijlocul muchiei VA. Determină și justifică: a) pr(ABC) VC; b) pr(VAC) BD; c) pr(VAC) AB; d) pr(ABC) VM.
3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 4 cm, BC = 3 cm și AA' = 12 cm. a) Determină proiecția segmentului BD' pe planul (ABC) și calculează lungimea acesteia. b) Calculează tangenta unghiului dintre dreapta BD' și planul (ABC). c) Determină proiecția segmentului BD' pe planul (BCC') și calculează lungimea acesteia.
4. Segmentul A'B' este proiecția segmentului AB pe planul α, iar u° este măsura unghiului dintre dreapta AB și planul α, cu 0° < u° < 90°. a) Dacă AB = 12 cm și u° = 60°, calculează A'B'. b) Dacă AB = 12 cm și A'B' = 6√3 cm, determină u°. c) Dacă A'B' = 10 cm și u° = 45°, calculează AB.
5. Punctele A și B sunt situate de aceeași parte a planului α, iar A' și B' sunt proiecțiile lor pe α. Se știe că AA' = 4 cm, BB' = 10 cm și A'B' = 8 cm. a) Calculează lungimea segmentului AB. b) Calculează cosinusul unghiului dintre dreapta AB și planul α.
6. Punctele A și B sunt situate de o parte și de alta a planului α, iar A' și B' sunt proiecțiile lor pe α. Se știe că AB = 10 cm, AA' = 3 cm și BB' = 5 cm. a) Calculează lungimea proiecției A'B' a segmentului AB pe planul α. b) Calculează cosinusul unghiului dintre dreapta AB și planul α.
7. Considerăm pătratul ABCD cu latura AB = 6 cm și punctul M astfel încât MA ⊥ (ABC) și MA = 6 cm. a) Determină măsura unghiului dintre dreapta MB și planul (ABC). b) Calculează sinusul unghiului dintre dreapta MC și planul (ABC). c) Demonstrează că BC ⊥ (MAB) și calculează tangenta unghiului dintre dreapta MC și planul (MAB).
8. Un stâlp vertical este fixat pe un teren orizontal. Din vârful stâlpului pleacă un cablu întins, lung de 20 m, care este prins de pământ și formează cu planul terenului un unghi de 30°. a) Calculează distanța de la baza stâlpului până la punctul în care cablul este prins de pământ. b) Calculează înălțimea stâlpului. c) Un al doilea cablu pleacă tot din vârful stâlpului și este prins de pământ la 10 m de baza stâlpului. Determină măsura unghiului format de al doilea cablu cu planul terenului.