Plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Scrieți definiția planelor paralele și explicați prin ce se deosebesc de planele secante. b) O bibliotecă are forma unui paralelipiped dreptunghic și are mai multe rafturi orizontale. Dați un exemplu de două plane paralele și un exemplu de două plane secante pe care le puteți observa la această bibliotecă. Justificați fiecare alegere.
2. Stabiliți dacă afirmațiile următoare sunt adevărate sau false. Justificați fiecare răspuns, folosind o teoremă din lecție sau un contraexemplu. a) Dacă planele α și β sunt paralele și dreapta d este inclusă în α, atunci d este paralelă cu β. b) Dacă planele α și β sunt paralele, atunci orice dreaptă din α este paralelă cu orice dreaptă din β. c) Printr-un punct A, exterior planului α, se pot construi două plane distincte, paralele cu α. d) Dacă α ∥ β, iar un plan γ intersectează planul α după dreapta a, atunci γ intersectează planul β după o dreaptă concurentă cu a.
3. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. a) Arătați că patrulaterul A′BCD′ este paralelogram și deduceți că A′B ∥ D′C. b) Arătați că BD ∥ B′D′. c) Folosind criteriul de paralelism al planelor, demonstrați că (A′BD) ∥ (CB′D′).
4. Fie prisma dreaptă ABCA′B′C′, cu baza triunghiul ABC, în care AB = 5 cm, BC = 6 cm și AC = 7 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor laterale AA′, BB′, respectiv CC′. a) Arătați că MN ∥ AB și MP ∥ AC. b) Demonstrați că (MNP) ∥ (ABC). c) Calculați perimetrul triunghiului MNP.
5. Fie piramida triunghiulară regulată VABC, cu muchia bazei AB = 12 cm. Punctele M, N și P aparțin muchiilor VA, VB, respectiv VC, astfel încât VA = 3 · VM, VB = 3 · VN și VC = 3 · VP. a) Arătați că MN ∥ AB și NP ∥ BC. b) Demonstrați că (MNP) ∥ (ABC). c) Calculați lungimea segmentului MN și perimetrul triunghiului MNP.
6. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6 cm și BC = 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei C′D′. Planul (BDM) intersectează planul (A′B′C′) după dreapta g. a) Folosind teorema fierăstrăului, arătați că g ∥ BD. b) Arătați că g ∥ B′D′ și deduceți că dreapta g intersectează muchia B′C′ în mijlocul ei, notat N. c) Calculați lungimea segmentului MN.
7. Într-o clădire, planșeele a trei etaje consecutive sunt situate în trei plane paralele α, β și γ. O conductă dreaptă intersectează cele trei planșee în punctele A, B și C, cu AB = 3 m și BC = 3 m. O altă conductă dreaptă, înclinată, intersectează aceleași planșee în punctele A′, B′ și C′, cu A′B′ = 3,5 m. a) Ce teoremă din lecție permite calcularea lungimii B′C′? Enunțați-o. b) Calculați B′C′ și A′C′. c) Explicați de ce rezultatul nu depinde de înclinarea celei de-a doua conducte.
8. Planele α și β sunt paralele, iar dreapta d intersectează planul α în punctul A. Demonstrați că dreapta d intersectează și planul β. Indicație: presupuneți, prin absurd, că d ∥ β. Alegeți un punct B ∈ β și considerați planul γ determinat de dreapta d și punctul B. Aplicați teorema fierăstrăului.