Plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. O cutie de pantofi are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu baza ABCD (capacul este fața A'B'C'D'). Considerăm planele celor 6 fețe ale cutiei. a) Scrie toate perechile de plane paralele determinate de fețele cutiei. b) Scrie toate planele fețelor care sunt secante cu planul (ABC) și precizează, pentru fiecare, dreapta de intersecție cu planul (ABC).
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Notăm cu O centrul feței ABCD și cu O' centrul feței A'B'C'D'. Stabilește valoarea de adevăr a următoarelor propoziții. Scrie A (adevărat) sau F (fals): a) (ABB') ∥ (DCC'); b) (ACC') ∩ (BDD') = OO'; c) (ADD') ∩ (ABC) = AD; d) (ABC) ∥ (ACC'); e) planele (ABC') și (A'B'C) sunt paralele; f) (BCC') ∩ (ADD') = ∅.
3. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC, cu vârful V și AB = 12 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. a) Demonstrează că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului MNP. c) Calculează aria triunghiului MNP.
4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Demonstrează că planele (A'BD) și (CB'D') sunt paralele. Scrie ipoteza, concluzia și justifică fiecare pas al demonstrației.
5. Planele α, β și γ sunt paralele, iar planul β se află între α și γ. O dreaptă d intersectează planele α, β, γ în punctele A, B, respectiv C. O altă dreaptă d' intersectează aceleași plane în punctele A', B', respectiv C'. Se știe că AB = 6 cm, BC = 9 cm și A'C' = 20 cm. Calculează lungimile segmentelor A'B' și B'C'. Precizează teorema pe care ai folosit-o.
6. Planele α și β sunt paralele. Dreapta d intersectează planul α în punctul A și planul β în punctul B. Dreapta d', paralelă cu d, intersectează planul α în punctul C și planul β în punctul D. Se știe că AB = 7 cm și AC = 5 cm. a) Explică de ce dreptele AC și BD sunt paralele. b) Arată că patrulaterul ABDC este paralelogram și calculează perimetrul său.
7. Se consideră tetraedrul regulat ABCD, cu AB = 15 cm. Punctele M, N și P se află pe muchiile DA, DB, respectiv DC, astfel încât DM/MA = DN/NB = DP/PC = 2/3. a) Demonstrează că (MNP) ∥ (ABC). b) Calculează lungimea segmentului MN. c) Calculează aria triunghiului MNP.
8. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu vârful V și VA = AB = 10 cm. Notăm {O} = AC ∩ BD. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VA, respectiv VB. a) Demonstrează că planele (MNO) și (VCD) sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului MNO.