Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și secțiuni axiale
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Demonstrați că: a) planul (BDD') este perpendicular pe planul (ABC); b) planul (BDD') este perpendicular pe planul (ACC'). Precizați ce fel de secțiune determină planul (BDD') în cub și ce figură geometrică este aceasta.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 24 cm. a) Demonstrați că (ACC') ⊥ (ABC). b) Arătați că secțiunea diagonală ACC'A' este dreptunghi. c) Calculați aria secțiunii diagonale ACC'A' și lungimea diagonalei AC' a paralelipipedului.
3. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 6√2 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul pătratului ABCD. a) Demonstrați că (VAC) ⊥ (ABC). b) Demonstrați că (VAC) ⊥ (VBD). c) Calculați aria triunghiului VAC și lungimea muchiei laterale VA.
4. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu aria de 96 cm², iar înălțimea cilindrului este de 8 cm. a) Calculați lungimea razei cilindrului. b) Calculați lungimea diagonalei secțiunii axiale. c) Explicați de ce planul oricărei secțiuni axiale este perpendicular pe planul bazei cilindrului.
5. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi dreptunghic isoscel, cu ipotenuza de 10 cm. a) Precizați care latură a triunghiului este ipotenuza și justificați. b) Calculați raza, înălțimea și generatoarea conului. c) Calculați aria secțiunii axiale.
6. În cubul ABCDA'B'C'D', planele (ABB') și (ABC) sunt perpendiculare. a) Folosind o proprietate a planelor perpendiculare, explicați de ce dreapta BB' este perpendiculară pe planul (ABC). b) Stabiliți dacă dreapta AB' este perpendiculară pe planul (ABC). Justificați răspunsul. c) Pe baza punctului b), stabiliți valoarea de adevăr a afirmației: „Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci orice dreaptă inclusă în unul dintre ele este perpendiculară pe celălalt plan.”
7. Dreptunghiul ABCD, cu AB = 8 cm și BC = 6 cm, și triunghiul echilateral ABE sunt situate în plane perpendiculare. Notăm cu M mijlocul segmentului AB. a) Demonstrați că EM ⊥ (ABC) și calculați distanța de la punctul E la planul (ABC). b) Calculați lungimea segmentului EC. c) Demonstrați că CB ⊥ (EAB) și precizați distanța de la punctul C la planul (EAB).
8. Prisma hexagonală regulată ABCDEFA'B'C'D'E'F' are latura bazei de 4 cm și înălțimea de 6 cm. Fie O și O' centrele bazelor. a) Demonstrați că planul (ADD') este perpendicular pe planul bazei (ABC). b) Calculați aria secțiunii ADD'A' și aria secțiunii ACC'A'. c) Stabiliți care dintre cele două secțiuni este secțiune axială a prismei pentru axa OO'. Justificați.