Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și secțiuni axiale
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′. Arătați că planele (ADD′) și (DCC′) sunt perpendiculare. Justificați fiecare pas folosind definiția planelor perpendiculare. Apoi dați încă un exemplu de pereche de plane perpendiculare care conțin fețe ale paralelipipedului.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 6 cm, AD = 8 cm și AA′ = 24 cm. Calculați: a) lungimea diagonalei AC a bazei; b) aria secțiunii diagonale ACC′A′; c) lungimea diagonalei paralelipipedului.
3. Un cub ABCDA′B′C′D′ are diagonala de 6√3 cm. Determinați: a) lungimea muchiei cubului; b) aria secțiunii diagonale BDD′B′; c) perimetrul secțiunii diagonale BDD′B′.
4. În piramida patrulateră regulată VABCD, cu AC ∩ BD = {O}, se știe că AB = 6√2 cm și VA = 10 cm. a) Calculați înălțimea VO a piramidei. b) Calculați aria secțiunii diagonale VAC. c) Arătați că (VAC) ⊥ (ABC). d) Arătați că (VAC) ⊥ (VBD).
5. Piramida hexagonală regulată VABCDEF are muchia bazei AB = 4 cm și înălțimea VO = 4√2 cm, unde O este centrul bazei. Determinați ariile secțiunilor diagonale care conțin muchia VA. Calculați apoi suma acestor arii.
6. O cutie de bomboane are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de 3 cm și înălțimea de 8 cm. Andrei vrea să pună în cutie un bețișor drept de 11 cm, iar cutia trebuie să se închidă cu capacul. Poate face acest lucru? Justificați răspunsul folosind o secțiune axială a cilindrului.
7. Un con circular drept are ca secțiune axială triunghiul echilateral VAB, cu perimetrul de 36 cm. Fie O centrul bazei. a) Determinați raza bazei, generatoarea și înălțimea conului. b) Calculați aria secțiunii axiale. c) Fie VCD o altă secțiune axială, cu CD ⊥ AB. Calculați aria triunghiului VBC.
8. În trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′, punctele O și O′ sunt centrele bazelor ABCD, respectiv A′B′C′D′. Se știe că AB = 10 cm, A′B′ = 4 cm și OO′ = 3√2 cm. a) Precizați ce fel de patrulater este secțiunea diagonală ACC′A′. Arătați că planul ei este perpendicular pe planul bazei mari. b) Calculați aria secțiunii diagonale ACC′A′. c) Calculați lungimea muchiei laterale AA′.