Pozițiile relative a două drepte în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul MNPQM'N'P'Q' (baza MNPQ, muchiile laterale MM', NN', PP', QQ'). Precizează poziția relativă (paralele, concurente sau necoplanare) a fiecărei perechi de drepte și justifică pe scurt: a) MN și Q'P'; b) MM' și NP; c) MP și MN; d) MQ' și NP'.
2. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă. Justifică răspunsul printr-un argument sau printr-un contraexemplu realizat pe un cub ABCDA'B'C'D'. a) Două drepte distincte care nu au niciun punct comun sunt paralele. b) Două drepte distincte care au un punct comun sunt coplanare. c) Dacă a ∥ b și b ∥ c, iar a și c sunt distincte, atunci a ∥ c. d) Dacă dreptele a și b sunt necoplanare, iar dreptele b și c sunt necoplanare, atunci a și c sunt necoplanare.
3. În cubul ABCDA'B'C'D', determină câte dintre celelalte 11 muchii sunt: a) paralele cu dreapta AB; b) concurente cu dreapta AB; c) necoplanare cu dreapta AB. Numește muchiile din fiecare categorie.
4. ABCD este un trapez cu AB ∥ CD, iar V este un punct exterior planului trapezului. Stabilește poziția relativă a dreptelor și justifică: a) VA și VC; b) VB și CD; c) AB și CD; d) VD și AC.
5. În tetraedrul ABCD, punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB și AC, iar P și Q sunt mijloacele muchiilor DB și DC. Demonstrează că MN ∥ PQ, apoi că patrulaterul MNQP este paralelogram.
6. ABCD este un tetraedru oarecare. Demonstrează prin metoda reducerii la absurd că dreptele AB și CD sunt necoplanare. Explică de ce, în consecință, dreptele AB și CD nu sunt nici paralele, nici concurente.
7. O sală de clasă are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu podeaua ABCD și tavanul A'B'C'D'. Dreapta A'B' reprezintă linia de îmbinare dintre peretele din față și tavan. Precizează poziția relativă a dreptei A'B' față de fiecare dintre dreptele următoare și justifică: a) DC, linia de îmbinare dintre peretele din spate și podea; b) BC, linia de îmbinare dintre un perete lateral și podea; c) BB', colțul vertical dintre peretele din față și un perete lateral. Dă apoi un exemplu din viața de zi cu zi de două direcții care corespund unor drepte necoplanare.
8. ABCA'B'C' este o prismă triunghiulară dreaptă. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AA', respectiv BB'. a) Demonstrează că MN ∥ AB. b) Folosind tranzitivitatea paralelismului, arată că MN ∥ A'B'. c) Stabilește poziția dreptelor MN și CC' și justifică răspunsul.