Pozițiile relative a două plane în spațiu. Teoreme de paralelism
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Completează enunțurile, apoi explică de ce două plane distincte nu pot avea în comun exact un punct. a) Dacă două plane au în comun trei puncte necoliniare, atunci planele sunt ... b) Două plane distincte care au un punct comun se numesc plane ..., iar intersecția lor este o ... c) Două plane care nu au niciun punct comun se numesc plane ...
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' (ABCD este baza inferioară, iar A', B', C', D' sunt vârfurile situate deasupra lui A, B, C, respectiv D). Stabilește poziția relativă a planelor din fiecare pereche. Pentru planele secante, precizează dreapta lor de intersecție. a) (ABB') și (DCC'); b) (ABC) și (ADD'); c) (BCC') și (A'B'C'); d) (ACC') și (BDD'). Notează cu O centrul feței ABCD și cu O' centrul feței A'B'C'D'.
3. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică răspunsul. Pentru o afirmație falsă, dă un contraexemplu în cubul ABCDA'B'C'D'. a) Dacă o dreaptă conținută în planul α este paralelă cu planul β, atunci α || β. b) Dacă α || β și planul γ intersectează planul α după dreapta a, atunci γ intersectează planul β după o dreaptă paralelă cu a.
4. În tetraedrul VABC se consideră punctele M ∈ VA, N ∈ VB și P ∈ VC, astfel încât VM/VA = VN/VB = VP/VC = 1/3. Demonstrează că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. Precizează teorema pe care o folosești.
5. Piramida VABCD are ca bază paralelogramul ABCD. Determină dreapta de intersecție a planelor: a) (VAB) și (VCD); b) (VAD) și (VBC). Justifică fiecare răspuns cu ajutorul „teoremei acoperișului”.
6. Cubul ABCDA'B'C'D' are muchia de 4 cm. Fie M mijlocul muchiei A'D'. a) Demonstrează că planul (MCD) intersectează planul (A'B'C') după o dreaptă paralelă cu CD. b) Dreapta de la punctul a) intersectează muchia B'C' în punctul N. Arată că N este mijlocul lui B'C' și că patrulaterul DCNM este paralelogram. c) Calculează perimetrul patrulaterului DCNM.
7. Acoperișul unei case este format din două suprafețe plane, situate în planele secante α și β. Coama acoperișului se află pe dreapta d = α ∩ β. Streașinile sunt muchiile de jos ale celor două suprafețe și se află pe dreptele a ⊂ α și b ⊂ β. Ele sunt paralele între ele și paralele cu planul solului π. Modelează situația printr-un desen. Apoi demonstrează că d || a și explică de ce coama acoperișului este orizontală, adică d || π.
8. În tetraedrul ABCD se consideră punctele E ∈ AB și F ∈ AC, astfel încât AE/AB = AF/AC = 2/5. Planul care trece prin E și F și este paralel cu planul (BCD) intersectează muchia AD în punctul G. a) Folosind „teorema fierăstrăului”, arată că EG || BD. b) Știind că AD = 10 cm și BC = 15 cm, calculează lungimile segmentelor AG și EF.