Pozițiile relative a două plane. Plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Enumerați cele trei poziții relative pe care le pot avea două plane α și β. Pentru fiecare poziție, scrieți ce mulțime de puncte comune au planele și notația matematică folosită. Dați apoi câte un exemplu din sala de clasă pentru fiecare situație, folosind pereții, podeaua, tavanul sau tabla.
2. Se consideră cubul ABCDEFGH, cu baza ABCD și muchiile laterale AE, BF, CG, DH. Stabiliți, argumentat, poziția relativă a planelor: a) (ABF) și (DCG); b) (ABC) și (ADH); c) (BDF) și (BDH); d) (ACG) și (BDH). În cazul planelor secante, precizați dreapta de intersecție.
3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu baza ABCD și muchiile laterale AA', BB', CC', DD'. Notăm {O} = AC ∩ BD și {O'} = A'C' ∩ B'D'. Determinați, cu justificare, intersecțiile: a) (ABC) ∩ (ABB'); b) (ACC') ∩ (BDD'); c) (A'BC) ∩ (ADD'); d) (AB'C) ∩ (A'B'C'). Indicație: folosiți Teorema acoperișului.
4. Punctele V, A, B, C sunt necoplanare. Pe segmentele VA, VB și VC se iau punctele M, N, respectiv P, astfel încât VM/MA = VN/NB = VP/PC = 1/2. Demonstrați că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele.
5. Se consideră cubul ABCDEFGH, cu baza ABCD și muchiile laterale AE, BF, CG, DH. Stabiliți, argumentat, care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate și care sunt false: a) Planele (ACF) și (DEG) sunt paralele. b) Planele (ABG) și (CDE) sunt paralele. c) Planele (ADF) și (DGF) sunt identice.
6. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic. Andrei montează pe un perete un raft orizontal, pe care îl considerăm o porțiune de plan. a) Precizați poziția relativă a planului podelei față de planul tavanului și poziția relativă a planelor a doi pereți vecini. Ce reprezintă, în cameră, intersecția planelor a doi pereți vecini? b) Andrei vrea să verifice că raftul este paralel cu podeaua. El măsoară două muchii ale raftului care pornesc din același colț și constată că fiecare este paralelă cu câte o dreaptă din planul podelei. Iar acele două drepte din planul podelei se intersectează. Explicați, folosind o teoremă din lecție, de ce raftul este paralel cu podeaua.
7. Se consideră trapezul ABCD, cu bazele AB și CD (AB > CD), și un punct S exterior planului (ABC). Notăm {O} = AD ∩ BC. a) Determinați intersecția planelor (SAB) și (SCD) și justificați poziția acestei drepte față de dreptele AB și CD. b) Determinați intersecția planelor (SAD) și (SBC). c) Determinați intersecția planelor (SAC) și (ABC).
8. Planele α și β sunt paralele, iar un plan γ intersectează planul α după dreapta a și planul β după dreapta b. a) Demonstrați că dreptele a și b sunt paralele. b) Explicați de ce o dreaptă inclusă în planul α nu poate intersecta planul β. c) Realizați un desen care să reprezinte această configurație.