Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de forma ax² + bx + c = 0

1. Pătratul unui număr real pozitiv este cu 12 mai mare decât numărul. Scrieți ecuația care modelează problema, aduceți-o la forma ax² + bx + c = 0 și determinați numărul.

2. Produsul a două numere naturale pare consecutive este 168. Notați cu x cel mai mic dintre numere, scrieți ecuația corespunzătoare, rezolvați-o și precizați cele două numere. Explicați de ce una dintre soluțiile ecuației nu convine.

3. Un teren dreptunghiular are perimetrul de 46 m și aria de 120 m². a) Determinați dimensiunile terenului, folosind o ecuație de gradul al doilea. b) Calculați lungimea diagonalei terenului.

4. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 13 cm, iar una dintre catete este cu 7 cm mai mare decât cealaltă. Determinați lungimile catetelor, apoi calculați aria și perimetrul triunghiului.

5. O grădină are forma unui pătrat cu latura de x metri. Proprietarul mărește o latură cu 4 m și cealaltă latură cu 6 m și obține o grădină dreptunghiulară a cărei arie este de două ori mai mare decât aria grădinii inițiale. Scrieți ecuația care modelează situația, rezolvați-o și aflați latura grădinii inițiale. Calculați apoi aria grădinii dreptunghiulare.

6. Un biciclist parcurge un traseu de 60 km cu viteză constantă. Dacă viteza lui ar fi fost cu 5 km/h mai mare, ar fi ajuns cu o oră mai devreme. Notați cu v viteza biciclistului (în km/h), scrieți ecuația problemei, aduceți-o la forma ax² + bx + c = 0 și determinați viteza biciclistului.

7. Suma dintre un număr real pozitiv și inversul său este egală cu 10/3. Determinați toate numerele care au această proprietate. Verificați rezultatele obținute.

8. O fotografie dreptunghiulară cu dimensiunile de 20 cm și 15 cm este înconjurată de o ramă care are peste tot aceeași lățime, x cm. Aria totală a fotografiei împreună cu rama este de 500 cm². Scrieți ecuația care modelează situația și determinați lățimea ramei.