Probleme recapitulative – Elemente ale geometriei în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu latura AB = 5 cm. a) Calculează lungimea diagonalei A'C a cubului. b) Arată că triunghiul A'BD este echilateral și calculează aria lui. c) Determină distanța de la punctul A la planul (A'BD).
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are dimensiunile AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 24 cm. a) Calculează lungimea diagonalei A'C. b) Determină tangenta unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABC). c) Calculează aria totală și volumul paralelipipedului.
3. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V, latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. b) Calculează aria laterală și aria totală a piramidei. c) Calculează volumul piramidei. d) Determină tangenta unghiului format de planele (VBC) și (ABC).
4. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA' = 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Calculează aria bazei ABC. b) Calculează volumul prismei. c) Arată că A'M ⊥ BC și calculează distanța de la punctul A' la dreapta BC. d) Determină tangenta unghiului format de planele (A'BC) și (ABC).
5. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu latura AB = 4 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AB, BC, respectiv BB'. a) Demonstrează că planele (MNP) și (ACB') sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului MNP.
6. Un rezervor de apă are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei R = 5 dm și înălțimea h = 12 dm. a) Calculează aria secțiunii axiale a cilindrului. b) Calculează aria laterală și aria totală a cilindrului. c) Calculează câți litri de apă încap în rezervor (folosește π ≈ 3,14 și 1 dm³ = 1 L). d) Calculează lungimea diagonalei secțiunii axiale.
7. Un con circular drept are generatoarea G = 13 cm și raza bazei R = 5 cm. a) Calculează înălțimea conului. b) Calculează aria secțiunii axiale a conului. c) Calculează aria totală a conului. d) Calculează volumul conului.
8. Fie ABCD un pătrat cu latura AB = 4 cm și {O} = AC ∩ BD. Pe perpendiculara în A pe planul pătratului se ia punctul M, astfel încât MA = 4 cm. a) Demonstrează că dreapta BC este perpendiculară pe planul (MAB). b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BC. c) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arată că MO ⊥ BD și calculează distanța de la punctul M la dreapta BD.