Probleme recapitulative: numere reale, calcul algebric, procente și geometrie plană
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră numerele a = √50 − √18 + √8 și b = √72 − √32. a) Efectuați calculele și precizați numerele m = min{a; b} și M = max{a; b}. b) Calculați media aritmetică mₐ = (a + b)/2 și media geometrică m_g = √(a · b) a numerelor a și b. c) Folosind rezultatele de la subpunctele anterioare, verificați șirul de inegalități m ≤ m_g ≤ mₐ ≤ M.
2. Demonstrați că: a) numărul √(17² − 8²) este rațional; b) numărul √(2 + 4 + 6 + … + 18 + 20) este irațional.
3. Determinați numărul real x care verifică egalitatea √2 · x − 2 = x + √2. Scrieți rezultatul fără radicali la numitor.
4. După o scumpire cu 15%, o bicicletă costă 1380 de lei. a) Calculați prețul bicicletei înainte de scumpire. b) Ulterior, noul preț se reduce cu 15%. Calculați prețul final al bicicletei. c) Stabiliți dacă prețul final este mai mare sau mai mic decât prețul inițial și cu câți lei.
5. Media aritmetică a cinci numere este 12. Dacă la aceste numere se adaugă încă un număr, media aritmetică a celor șase numere devine 13. Determinați numărul adăugat.
6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul: 2x + 3y = 12 x − y = 1
7. În triunghiul ABC, cu ∢BAC = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm, AD este înălțime, D ∈ BC. Calculați: a) lungimea ipotenuzei BC; b) lungimea înălțimii AD; c) lungimea proiecției catetei AB pe ipotenuză; d) lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC și valoarea lui sin(∢ABC).
8. Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 16 cm și CD = 6 cm, iar laturile neparalele AD = BC = 13 cm. a) Calculați înălțimea trapezului. b) Calculați aria trapezului. c) Calculați lungimea diagonalei AC.