Proiecții de puncte, de segmente de dreaptă și de drepte pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDEFGH, cu baza ABCD și fața EFGH, în care muchiile AE, BF, CG și DH sunt perpendiculare pe planul (ABC). O este centrul feței ABCD, iar Q este centrul feței EFGH. Determinați și justificați: a) pr(ABC)F; b) pr(ABC)G; c) pr(ABC)Q; d) pr(EFG)B; e) pr(EFG)O; f) proiecția punctului C pe dreapta AB.
2. În cubul ABCDEFGH de la exercițiul 1 (cu E deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D), determinați proiecțiile segmentelor: a) EG pe planul (ABC); b) FD pe planul (ABC); c) AF pe planul (ABC); d) AH pe planul (BCG); e) DG pe planul (ABF). Pentru fiecare caz, precizați proiecțiile capetelor segmentului.
3. În cubul ABCDEFGH de la exercițiul 1, determinați proiecția pe planul (ABC) a fiecărei drepte: a) dreapta AE; b) dreapta HF; c) dreapta EC. Precizați în care dintre cazuri proiecția este un punct și explicați de ce, folosind Teorema 1 (proiecția unei drepte pe un plan este o dreaptă sau un punct).
4. Segmentul AB are lungimea de 10 cm. Punctele A și B se află de aceeași parte a planului α, la distanțele de 3 cm, respectiv 9 cm, față de plan. Notăm A′ = prαA și B′ = prαB. a) Ce fel de patrulater este ABB′A′? Justificați. b) Calculați lungimea proiecției segmentului AB pe planul α. c) Comparați lungimea proiecției cu lungimea segmentului AB.
5. Segmentul AB intersectează planul α. Punctul A se află la distanța de 4 cm de plan, iar punctul B se află de cealaltă parte a planului, la distanța de 2 cm de plan. Proiecția segmentului AB pe planul α are lungimea A′B′ = 8 cm. a) Calculați lungimea segmentului AB. b) Fie M mijlocul segmentului AB. Ce reprezintă proiecția lui M pe planul α față de segmentul A′B′? c) Calculați distanța de la punctul M la planul α.
6. Se consideră tetraedrul regulat VABC cu muchia de 6 cm, iar O este centrul triunghiului ABC (VO ⊥ (ABC)). a) Determinați proiecția segmentului VA pe planul (ABC) și calculați lungimea acesteia. b) Calculați lungimea înălțimii VO. c) Fie M mijlocul muchiei VA. Determinați proiecția punctului M pe planul (ABC) și calculați distanța de la M la planul (ABC).
7. Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justificați răspunsul (cu un argument sau cu un contraexemplu realizat pe un cub): a) Proiecția unui segment pe un plan este întotdeauna mai scurtă decât segmentul. b) Proiecția unei drepte pe un plan poate fi un punct. c) Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, atunci proiecțiile lor pe un plan sunt puncte coliniare. d) Dacă un segment este paralel cu un plan, atunci proiecția lui pe acel plan este congruentă cu segmentul.
8. Un băț drept, lung de 2,6 m, are un capăt sprijinit pe sol (considerat plan orizontal), iar celălalt capăt se află la înălțimea de 1 m față de sol. La amiază, razele Soarelui cad perpendicular pe sol, așa că umbra bățului este proiecția acestuia pe sol. a) Realizați un desen și modelați situația în limbaj geometric, precizând segmentul proiectat, planul și proiecția. b) Calculați lungimea umbrei bățului. c) Ce lungime ar avea umbra dacă bățul ar fi așezat vertical? Dar dacă ar fi așezat paralel cu solul?