Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determinați proiecțiile punctului C' pe planele (ABC), (ADD'), (ABB') și (A'B'C'). Pentru fiecare proiecție, justificați răspunsul precizând dreapta perpendiculară pe plan care trece prin C'.
2. În cubul ABCDA'B'C'D', determinați proiecția segmentului B'D pe fiecare dintre planele (ABC), (A'B'C'), (BCC') și (CDD'). Justificați fiecare rezultat determinând mai întâi proiecțiile capetelor segmentului.
3. În prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', punctele M și M' sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv B'C'. Determinați: a) pr(ABC) A'C; b) pr(ABC) A'M'; c) pr(ABC) MM'; d) pr(BCC') AM (justificați că AM ⊥ (BCC')); e) pr(BCC') AA'.
4. Segmentul AB are capătul A în planul α, iar B ∉ α. Punctul B' este proiecția punctului B pe planul α, iar M este mijlocul segmentului AB. Se știe că AB = 10 cm și BB' = 6 cm. a) Realizați un desen conform datelor problemei. b) Calculați lungimea proiecției segmentului AB pe planul α. c) Notăm cu M' proiecția punctului M pe planul α. Justificați că M' aparține segmentului AB' și calculați lungimile segmentelor MM' și AM'.
5. Punctele A și B sunt situate de aceeași parte a planului α și nu aparțin acestuia. Proiecțiile lor pe planul α sunt A', respectiv B'. Se știe că AA' = 5 cm, BB' = 11 cm și A'B' = 8 cm. a) Precizați natura patrulaterului AA'B'B și justificați răspunsul. b) Calculați lungimea segmentului AB. c) Dacă M este mijlocul segmentului AB și M' este proiecția lui M pe planul α, calculați lungimea segmentului MM'.
6. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 4 cm. Punctul N este mijlocul muchiei CC'. Determinați proiecțiile și calculați lungimile proiecțiilor următoarelor segmente: a) pr(ABC) AC'; b) pr(ABC) AN; c) pr(BCC') AN; d) pr(ABB') AN.
7. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Determinați pr(ABC) V și pr(ABC) VA, apoi calculați lungimea proiecției segmentului VA pe planul (ABC). b) Determinați pr(ABC) VM și calculați lungimea acestei proiecții. c) Demonstrați că pr(VAC) B = O. d) Determinați pr(VAC) VB și calculați lungimea acestei proiecții.
8. Pătratul ABCD, cu latura de 6 cm, are latura AB inclusă în planul α, iar punctele C și D nu aparțin planului α. Notăm cu C' și D' proiecțiile punctelor C, respectiv D pe planul α. Se știe că CC' = 3 cm. a) Justificați că DD' = CC'. b) Demonstrați că AB ⊥ (BCC') și deduceți că AB ⊥ BC'. c) Demonstrați că proiecția pătratului ABCD pe planul α este dreptunghiul ABC'D'. d) Calculați lungimea segmentului BC' și aria proiecției pătratului ABCD pe planul α.