Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Desenează cubul și precizează proiecția: a) punctului C' pe planul (ABC); b) punctului D pe planul (A'B'C'); c) segmentului BC' pe planul (ABC); d) segmentului A'C pe planul (ABC); e) dreptei DD' pe planul (ABC); f) dreptei A'B pe planul (DCC'). Justifică pe scurt fiecare răspuns.
2. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 10 cm. a) Precizează proiecția segmentului A'C pe planul (ABC) și calculează lungimea acestei proiecții. b) Precizează proiecția segmentului BD' pe planul (ADD') și calculează lungimea acestei proiecții. c) Precizează proiecția segmentului D'B pe planul (ABB') și calculează lungimea acestei proiecții.
3. Segmentul AB are capătul A în planul α, iar capătul B nu aparține planului α. Punctul B' este proiecția punctului B pe planul α. Se știe că AB = 13 cm și BB' = 5 cm. a) Precizează proiecția segmentului AB pe planul α. b) Calculează lungimea proiecției segmentului AB pe planul α. c) Explică de ce proiecția segmentului AB pe planul α este mai scurtă decât segmentul AB.
4. Punctele M și N sunt situate de aceeași parte a planului α, iar M' și N' sunt proiecțiile lor pe planul α. Se știe că MM' = 4 cm, NN' = 10 cm și M'N' = 8 cm. a) Arată că patrulaterul MM'N'N este un trapez dreptunghic. b) Calculează lungimea segmentului MN.
5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu vârful V și înălțimea VO, cu AB = 6√2 cm și VA = 10 cm. a) Precizează proiecția punctului V și proiecția muchiei VA pe planul (ABC). b) Calculează lungimea proiecției muchiei VA pe planul (ABC). c) Calculează înălțimea VO a piramidei.
6. Triunghiul echilateral ABC, cu latura de 6 cm, este situat în planul α. Pe planul α se ridică perpendiculara MA, cu MA = 8 cm. a) Precizează proiecția segmentului MB pe planul α și calculează lungimea segmentului MB. b) Precizează proiecția triunghiului MBC pe planul α. c) Calculează aria proiecției triunghiului MBC pe planul α.
7. Stabilește dacă fiecare dintre afirmațiile următoare este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns, folosind un exemplu sau un contraexemplu realizat pe un cub ABCDA'B'C'D'. a) Proiecția unui segment pe un plan are întotdeauna aceeași lungime ca segmentul. b) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci proiecția ei pe acel plan este un punct. c) Două puncte diferite pot avea aceeași proiecție pe un plan.
8. Un stâlp vertical AB are înălțimea de 9 m, iar baza lui, punctul B, se află pe sol (solul este considerat planul α). De vârful A al stâlpului se leagă un cablu întins, fixat în punctul C de pe sol, cu BC = 12 m. a) Precizează proiecția cablului AC pe planul solului. b) Calculează lungimea cablului. c) Pe cablu se fixează un bec în mijlocul M al segmentului AC. Arată că proiecția M' a punctului M pe sol este mijlocul segmentului BC. Calculează la ce distanță de baza stâlpului se află M' și la ce înălțime față de sol se află becul.