Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Completează spațiile libere pentru a obține enunțuri adevărate. Justifică pe scurt fiecare răspuns. a) Proiecția punctului C' pe planul (ABC) este punctul ... . b) Proiecția punctului A pe planul (BCC') este punctul ... . c) Proiecția segmentului A'C pe planul (ABC) este segmentul ... . d) Proiecția segmentului B'D' pe planul (ABC) este segmentul ... .
2. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu AC ∩ BD = {O}. Punctul M este mijlocul muchiei CD. Determină: a) proiecția punctului V pe planul (ABC); b) proiecția segmentului VD pe planul (ABC); c) proiecția apotemei VM pe planul (ABC); d) proiecția segmentului VC pe planul (VBD). Justifică răspunsul.
3. Segmentul AB are lungimea egală cu 18 cm și se proiectează pe un plan α. Calculează lungimea proiecției segmentului AB pe planul α în fiecare dintre situațiile următoare: a) unghiul dintre dreapta AB și planul α are măsura egală cu 60°; b) unghiul dintre dreapta AB și planul α are măsura egală cu 30°; c) dreapta AB este perpendiculară pe planul α; d) dreapta AB este paralelă cu planul α.
4. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm. Determină: a) măsura unghiului dintre dreapta AB' și planul (ABC); b) măsura unghiului dintre dreapta A'C' și planul (ABC); c) măsura unghiului dintre dreapta CC' și planul (ABD); d) tangenta unghiului dintre dreapta BD' și planul (ABC).
5. Punctele A și B sunt situate de aceeași parte a planului α, iar segmentul AB se proiectează pe planul α după segmentul A'B'. Știind că AA' = 4 cm, BB' = 10 cm și A'B' = 6√3 cm, determină: a) lungimea segmentului AB; b) măsura unghiului dintre dreapta AB și planul α.
6. O scară cu lungimea de 6 m este sprijinită de peretele vertical al unei clădiri. Scara formează cu podeaua orizontală un unghi cu măsura egală cu 60°. Modelează situația printr-o configurație geometrică, apoi determină: a) distanța de la piciorul scării până la perete (lungimea proiecției scării pe podea); b) înălțimea la care se sprijină scara pe perete.
7. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 6√2 cm și VA = 10 cm. Punctul O este centrul bazei, iar M este mijlocul muchiei BC. Determină: a) lungimea proiecției muchiei VA pe planul bazei; b) înălțimea VO a piramidei; c) cosinusul unghiului format de muchia VA cu planul bazei; d) lungimea proiecției apotemei VM pe planul bazei.
8. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. În punctul A se ridică perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se fixează punctul D, astfel încât AD = 5 cm. Punctul M este mijlocul ipotenuzei BC. a) Determină lungimea proiecției segmentului DB pe planul (ABC). b) Determină lungimea proiecției segmentului DM pe planul (ABC). c) Determină măsura unghiului dintre dreapta DM și planul (ABC). d) Calculează lungimea segmentului DM.