Proiecții, distanțe, unghiuri și plane perpendiculare în spațiu – exersare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Determină și justifică pe scurt: a) proiecția punctului C′ pe planul (ABC); b) proiecția punctului B pe planul (ADD′); c) proiecția punctului D′ pe planul (BCC′); d) proiecția segmentului AC pe planul (A′B′C′); e) proiecția segmentului A′C′ pe planul (ABC).
2. Segmentul AB are lungimea de 26 cm și intersectează planul α. Punctele A și B sunt situate de o parte și de alta a planului α, la distanțele de 7 cm, respectiv 3 cm față de acesta. Determină lungimea proiecției segmentului AB pe planul α.
3. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 15 cm și AD = 20 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 5 cm. Determină: a) distanța de la punctul M la dreapta BC; b) distanța de la punctul M la dreapta CD; c) distanța de la punctul M la dreapta BD.
4. Se consideră triunghiul echilateral ABC cu latura de 12 cm și punctul O, centrul triunghiului. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara MO, cu MO = 2 cm. Determină: a) distanța de la punctul M la dreapta BC; b) măsura unghiului dintre planele (MBC) și (ABC).
5. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10√3 cm. Determină: a) lungimea proiecției diagonalei A′C pe planul (ABC); b) măsura unghiului dintre dreapta A′C și planul (ABC); c) lungimea diagonalei A′C.
6. Un stâlp vertical este ancorat cu un cablu întins de la vârful stâlpului până la un punct de pe sol. Punctul de pe sol se află la 8 m de baza stâlpului, iar cablul formează cu planul solului un unghi de 60°. Realizează un desen corespunzător și determină: a) înălțimea stâlpului; b) lungimea cablului.
7. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu O centrul bazei, și M mijlocul muchiei BC. a) Demonstrează că (VOM) ⊥ (VBC). b) Dacă AB = 12 cm și VO = 6 cm, determină măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC).
8. Pe planul triunghiului isoscel ABC, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm, se ridică perpendiculara AD, cu AD = 4√3 cm. Fie E mijlocul segmentului BC. a) Arată că AE = 12 cm. b) Determină distanța de la punctul D la dreapta BC. c) Determină măsura unghiului dintre planele (DBC) și (ABC).