Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Precizați ce poate fi proiecția ortogonală a unei drepte pe un plan. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Dați câte un exemplu de dreaptă a cubului pentru fiecare caz posibil, folosind ca plan de proiecție planul (ABC). Justificați fiecare exemplu.
2. Segmentul MN are lungimea de 10 cm, iar M′N′ este proiecția sa pe planul α. Determinați lungimea segmentului M′N′ în fiecare dintre cazurile: a) ∢(MN, α) = 0°; b) ∢(MN, α) = 30°; c) ∢(MN, α) = 45°; d) ∢(MN, α) = 60°; e) ∢(MN, α) = 90°.
3. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm. Determinați proiecțiile segmentelor următoare pe planele indicate și calculați lungimea fiecărei proiecții. Justificați răspunsul. a) pr(ABC)A′C; b) pr(BCC′)AD′; c) pr(ADD′)BC.
4. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de a cm. Determinați: a) măsura unghiului format de dreapta BC′ cu planul (ABC); b) tangenta unghiului format de dreapta A′C cu planul (ABC); c) tangenta unghiului format de dreapta A′C cu planul (BCC′). Precizați de fiecare dată care este proiecția dreptei pe plan.
5. În piramida patrulateră regulată VABCD, O este centrul bazei, iar M este mijlocul muchiei BC. Se știe că AB = 12 cm și VO = 6√6 cm. Determinați: a) măsura unghiului format de dreapta VA cu planul (ABC); b) măsura unghiului format de dreapta VA cu planul (VBD); c) tangenta unghiului format de dreapta VM cu planul (ABC); d) lungimea proiecției segmentului VA pe planul (ABC).
6. Un stâlp vertical are înălțimea de 6 m. Un cablu întins este fixat în vârful stâlpului și ancorat pe sol într-un punct. Cablul formează cu solul un unghi de 60°. Modelați situația printr-o configurație geometrică, considerând solul un plan, și calculați: a) lungimea cablului; b) distanța de la baza stâlpului până la punctul de ancorare, adică lungimea proiecției cablului pe sol.
7. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 12 cm. Determinați: a) cosinusul unghiului format de dreapta AC′ cu planul (ABC); b) lungimea proiecției segmentului AC′ pe planul (ABB′); c) sinusul unghiului format de dreapta AC′ cu planul (ADD′).
8. Punctele A și B sunt situate de o parte și de alta a planului α, iar AB ∩ α = {O}. Punctele A′ și B′ sunt proiecțiile punctelor A, respectiv B pe planul α. Se știe că AA′ = 3 cm, BB′ = 5 cm și A′B′ = 8√3 cm. a) Explicați de ce punctele A′, O și B′ sunt coliniare. b) Calculați lungimile segmentelor A′O și OB′. c) Determinați măsura unghiului format de dreapta AB cu planul α. d) Calculați lungimea segmentului AB.