Proiecții, unghiuri și distanțe în spațiu: fișă de evaluare, remediere și consolidare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' avem AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 10 cm. a) Precizați care este proiecția segmentului A'C pe planul (ABC) și calculați lungimea acesteia. b) Calculați lungimea diagonalei A'C. c) Determinați măsura unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC).
2. Punctele A și B sunt situate de aceeași parte a unui plan α. Fie A' și B' proiecțiile punctelor A și B pe planul α, cu AA' = 10 cm, BB' = 4 cm și A'B' = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB. a) Calculați lungimea segmentului AB. b) Calculați distanța de la punctul M la planul α. c) Calculați sinusul unghiului dintre dreapta AB și planul α.
3. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. Punctul O este centrul pătratului ABCD. a) Justificați faptul că unghiul dintre planele (A'BD) și (ABC) este unghiul A'OA. b) Calculați tangenta unghiului dintre planele (A'BD) și (ABC). c) Calculați distanța de la punctul A la planul (A'BD).
4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Calculați lungimea apotemei piramidei. b) Calculați tangenta unghiului dintre planul unei fețe laterale și planul bazei. c) Calculați distanța de la punctul O la planul (VBC).
5. Triunghiul echilateral ABC are latura de 6 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara MA, M ∉ (ABC), cu MA = 3√3 cm. Punctul D este mijlocul laturii BC. a) Demonstrați că MD ⊥ BC și calculați distanța de la punctul M la dreapta BC. b) Determinați măsura unghiului dintre planele (MBC) și (ABC). c) Calculați distanța de la punctul A la planul (MBC).
6. În prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' avem AB = AA' = 6 cm. Punctul D este mijlocul muchiei BC. a) Determinați măsura unghiului dintre dreapta AB' și planul (ABC). b) Demonstrați că AD ⊥ (BCC') și calculați distanța de la punctul A la planul (BCC'). c) Precizați proiecția segmentului AB' pe planul (BCC') și calculați sinusul unghiului dintre dreapta AB' și planul (BCC').
7. O rampă pentru cărucioare are forma unui dreptunghi ABCD. Latura AB se află pe sol, considerat un plan orizontal α. Latura CD se află la înălțimea de 1,5 m față de sol. Se cunosc AB = 2 m și BC = 2,5 m. a) Calculați lungimea proiecției segmentului BC pe planul solului. b) Calculați aria proiecției rampei pe planul solului. c) Calculați sinusul unghiului dintre planul rampei și planul solului.
8. Se consideră tetraedrul regulat ABCD cu muchia de 12 cm. Punctul O este proiecția punctului D pe planul (ABC), iar M este mijlocul muchiei BC. a) Calculați distanța de la punctul D la planul (ABC). b) Calculați cosinusul unghiului dintre dreapta DA și planul (ABC). c) Calculați cosinusul unghiului dintre planele (DBC) și (ABC).