Puncte, drepte, plane. Determinarea dreptei
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie α un plan și M, N, P trei puncte distincte astfel încât M, N ∈ α și P ∉ α. Punctul Q este mijlocul segmentului MN. a) Realizați un desen care să corespundă descrierii. b) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor de mai jos și justificați fiecare răspuns: p1: MN ⊂ α; p2: MP ⊂ α; p3: Q ∈ α; p4: PQ ⊄ α.
2. a) Se consideră 5 puncte distincte în spațiu, oricare trei dintre ele necoliniare. Câte drepte sunt determinate de perechile formate cu aceste puncte? Justificați. b) Câte drepte determină 7 puncte distincte, oricare trei necoliniare? Explicați metoda folosită.
3. Punctele distincte A, B, C se află pe dreapta d, iar punctele D și E nu aparțin dreptei d. Dreapta DE nu conține niciunul dintre punctele A, B, C. Nu există alte grupuri de trei puncte coliniare în afară de A, B, C. Determinați câte drepte distincte sunt determinate de perechile formate cu cele 5 puncte. Justificați răspunsul.
4. Reprezentați printr-un desen configurația formată din planul β, punctele distincte E, F, G și dreapta d, astfel încât: E, F ∈ β, G ∉ β, d ⊂ β, F ∈ d și E ∉ d. Scrieți apoi, folosind simbolurile matematice (∈, ∉, ⊂, ⊄), două relații care rezultă din această configurație și nu sunt date în enunț. Justificați fiecare relație.
5. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D', în care fața ABCD este baza de jos, iar muchiile AA', BB', CC', DD' sunt verticale. Fie O punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD ale pătratului ABCD. Demonstrați că: a) dreapta BO este inclusă în planul (ABC); b) dreapta A'O nu este inclusă în planul (ABC); c) dreapta C'O este inclusă în planul (ACC').
6. Planele distincte α și β au în comun punctele distincte A și B. Ce figură geometrică este intersecția planelor α și β? Justificați răspunsul folosind axiomele și teorema studiate în lecție.
7. Un scaun cu trei picioare stă stabil pe orice podea plană, chiar dacă picioarele au lungimi ușor diferite. Un scaun cu patru picioare se poate clătina. Modelați situația folosind puncte și plane: considerați capetele picioarelor ca puncte. Explicați, în limbaj matematic, de ce apare această diferență. Precizați axiomele pe care le folosiți.
8. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații. Dacă o afirmație este falsă, dați un contraexemplu sau explicați de ce nu este adevărată. a) Prin orice trei puncte distincte trece un singur plan. b) Două puncte distincte determină o dreaptă. c) Oricare patru puncte din spațiu sunt coplanare. d) Dacă o dreaptă are un punct comun cu un plan, atunci dreapta este inclusă în acel plan.