Puncte, drepte, plane: notații, determinarea dreptei și a planului, relații între puncte, drepte și plane
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Precizează cu ce fel de litere se notează punctele, dreptele și planele. b) Scrie cu simboluri matematice următoarele propoziții: 1) Punctul M aparține dreptei d. 2) Punctul N nu aparține planului β. 3) Dreapta AB este inclusă în planul γ. 4) Planele α și β se intersectează după dreapta MN. 5) Planul determinat de punctele necoliniare P, Q, R este planul π.
2. Stabilește dacă fiecare dintre afirmațiile de mai jos este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns. Pentru afirmațiile false poți da un contraexemplu, de exemplu folosind muchiile unei cutii în formă de cub. a) Două drepte concurente determină un plan. b) Oricare trei puncte determină un plan. c) Două drepte care nu au niciun punct comun sunt întotdeauna paralele. d) Dacă o dreaptă are un singur punct comun cu un plan, atunci dreapta este inclusă în acel plan.
3. Un taburet cu trei picioare stă întotdeauna stabil pe podea, chiar dacă picioarele nu sunt perfect egale. O masă cu patru picioare se poate „clătina” dacă unul dintre picioare este puțin mai scurt. Explică această situație folosind noțiunile din lecție. Consideră capetele picioarelor ca puncte, iar podeaua ca plan.
4. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare și E mijlocul segmentului AB. Determină numărul planelor care conțin cel puțin trei dintre punctele A, B, C, D, E. Scrie aceste plane și justifică de ce punctele A, B, E nu determină un plan.
5. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Notăm cu M mijlocul segmentului BC și cu N mijlocul segmentului AD. Determină și justifică: a) (ADM) ∩ (BCD); b) (ABM) ∩ (ACD); c) (ADM) ∩ (BCN).
6. Triunghiul ABC este situat în planul α, iar punctul V nu aparține planului α (V ∉ α). Punctul D aparține segmentului AB, D ≠ A, D ≠ B. a) Arată că dreapta CD este inclusă în planul α. b) Arată că dreapta VD nu este inclusă în planul α. c) Determină intersecția planelor (VCD) și α. d) Demonstrează că punctele V, A, B sunt necoliniare.
7. Dreptele a și b sunt paralele. Punctele M și N sunt distincte și aparțin dreptei a, iar punctul P aparține dreptei b. Punctul Q nu aparține planului (a, b). a) Arată că dreapta NP este inclusă în planul (a, b). b) Determină intersecția planelor (QMP) și (a, b). c) Determină intersecția planelor (Q, a) și (QNP).
8. Pe acoperișul plat al unui bloc (planul α) este montat un stâlp vertical VO pentru o antenă, cu punctul O ∈ α și V ∉ α. Stâlpul este ancorat cu două cabluri bine întinse, VA și VB, fixate în punctele A, B ∈ α. Punctele O, A, B sunt necoliniare. Se știe că VO = 8 m, OA = 6 m, OB = 15 m și ∢VOA = ∢VOB = 90°. a) Stabilește care dintre dreptele OA, VA, AB este inclusă în planul α. Justifică. b) Scrie toate planele determinate de câte trei dintre punctele V, O, A, B. c) Calculează lungimea totală a celor două cabluri.