Teorema celor trei perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Triunghiul ABC este dreptunghic în B, cu AB = 3 cm și BC = 4 cm. Pe planul (ABC) se ridică perpendiculara VA, cu VA = 4 cm. a) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arătați că VB ⊥ BC. b) Calculați d(V, BC) și lungimea segmentului VC. c) Fie D un punct din planul (ABC), diferit de A și de C, astfel încât VD ⊥ DC. Precizați ce teoremă folosiți pentru a arăta că AD ⊥ DC. Scrieți raționamentul complet.
2. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara VA, cu VA = 6 cm. Fie M mijlocul segmentului BC. a) Arătați că VM ⊥ BC. b) Calculați d(V, BC). c) Calculați d(A, (VBC)) și justificați de ce piciorul perpendicularei din A pe planul (VBC) se află pe dreapta VM.
3. Dreptunghiul ABCD are AB = 8 cm și AD = 6 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara VA, cu VA = 3,6 cm. Fie E proiecția punctului A pe dreapta BD. a) Calculați lungimea segmentului AE. b) Demonstrați că VE ⊥ BD și calculați d(V, BD). c) Determinați d(A, (VBD)), justificând cu a doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare.
4. Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm, iar O este punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD. a) Arătați că C′O ⊥ BD și calculați d(C′, BD). b) Fie H proiecția punctului C pe dreapta C′O. Demonstrați că CH ⊥ (C′BD) și calculați d(C, (C′BD)). c) Explicați de ce d(A, (C′BD)) = d(C, (C′BD)).
5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată, cu O centrul bazei, AB = 16 cm și înălțimea VO = 6 cm. Fie M mijlocul muchiei BC și E mijlocul muchiei AD. a) Calculați d(O, BC) și d(V, BC). Precizați ce teoremă folosiți. b) Calculați d(O, (VBC)). c) Folosind faptul că O este mijlocul segmentului EM și că AD ∥ (VBC), determinați d(A, (VBC)).
6. VABC este o piramidă triunghiulară regulată, cu O centrul bazei, AB = 12 cm și VO = 2 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Calculați OM și apotema VM a piramidei. b) Demonstrați că proiecția punctului O pe dreapta VM este și proiecția lui O pe planul (VBC). Calculați d(O, (VBC)). c) Știind că punctele A, O, M sunt coliniare și AM = 3 · OM, determinați d(A, (VBC)).
7. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = BC = 6 cm și AA′ = 3 cm, iar O este centrul bazei ABCD. a) Arătați că planele (A′BD) și (CB′D′) sunt paralele. b) Fie H proiecția punctului A pe dreapta A′O. Demonstrați că AH ⊥ (A′BD) și calculați d(A, (A′BD)). c) Determinați distanța dintre planele (A′BD) și (CB′D′). Justificați.
8. Un stâlp MO, cu înălțimea de 12 m, este fixat vertical (perpendicular pe sol) în punctul O al unui teren plan și orizontal. Pe teren se află un gard drept, reprezentat de dreapta d. Distanța de la O la gard este de 5 m, iar A este punctul gardului pentru care OA ⊥ d. a) Explicați, folosind teorema celor trei perpendiculare, de ce MA ⊥ d. b) Calculați distanța de la vârful M al stâlpului la gard. c) Un cablu întins pleacă din M și este fixat în punctul B al gardului, cu AB = 9 m. Calculați lungimea cablului MB și comparați-o cu MA. Interpretați rezultatul.