Recapitulăm prin probleme: calcul algebric, formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori și ecuații de gradul al doilea

1. Calculează și scrie rezultatul în forma cea mai simplă: a) (12x⁵y³) : (4x²y); b) (−2x³y²z)³; c) −3x(2x² − 5x + 4); d) (x − 4)(x + 6).

2. Folosește formulele de calcul prescurtat. Calculează: a) (3x − 2)²; b) (2a + 5b)(2a − 5b); c) (x + √3)². Apoi adu la forma cea mai simplă expresia d) (2x − 1)² − (x + 3)(x − 3).

3. Descompune în factori: a) 15x³ − 10x², folosind metoda factorului comun; b) x² − 14x + 49; c) 49 − (x − 2)²; d) (x + 3)(x − 1) + 2x(x − 1); e) x² + 8x + 12, prin completare la un pătrat.

4. Rezolvă în ℝ ecuațiile de mai jos. Descompune mai întâi membrul stâng într-un produs. Scrie mulțimea soluțiilor fiecărei ecuații. a) 5x² − 20x = 0; b) (x − 3)² − 16 = 0; c) x(x + 2) − 3(x + 2) = 0.

5. Rezolvă în ℝ ecuațiile de gradul al doilea. Calculează discriminantul Δ pentru fiecare ecuație și scrie mulțimea soluțiilor. a) x² − 7x + 10 = 0; b) 2x² + 3x − 2 = 0; c) x² + 2x + 5 = 0.

6. a) Determină numărul real m, știind că 3 este soluție a ecuației x² − mx + 6 = 0. Pentru valoarea găsită, află și cealaltă soluție a ecuației. b) Determină m ∈ ℝ astfel încât ecuația x² − 6x + m = 0 să aibă două soluții reale egale. Precizează care este această soluție.

7. Scrie fiecare expresie prin completare la un pătrat. Apoi răspunde la cerințe. a) Determină valoarea cea mai mică a expresiei E(x) = x² − 8x + 19 și numărul real x pentru care se obține. b) Determină valoarea cea mai mare a expresiei F(x) = −x² + 6x − 2 și numărul real x pentru care se obține.

8. Un teren în formă de dreptunghi are lungimea cu 3 m mai mare decât lățimea, iar aria lui este de 40 m². Notează lățimea cu x. Scrie ecuația care descrie situația și rezolv-o. Determină dimensiunile terenului și perimetrul lui. Justifică de ce una dintre soluțiile ecuației nu convine.