Recapitulăm prin probleme – Perpendicularitate în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pătratul ABCD are latura de 6 cm. Dreapta MA este perpendiculară pe planul pătratului și MA = 6 cm. Notăm cu O centrul pătratului. Calculează: a) distanța de la M la dreapta BC; b) distanța de la M la dreapta BD; c) tangenta unghiului dintre planele (MBD) și (ABC). Justifică fiecare distanță folosind teorema celor trei perpendiculare.
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 8 cm. a) Demonstrează că planele (ABC') și (BCC') sunt perpendiculare. b) Determină măsura unghiului dintre planele (ABC') și (ABC). c) Calculează distanța de la punctul C la planul (ABC').
3. Dreptunghiul ABCD din carton are AB = 16 cm și BC = 6 cm. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv CD. Îndoim dreptunghiul de-a lungul segmentului MN, până când planele (AMN) și (BMN) devin perpendiculare. Calculează, după îndoire: a) lungimea segmentului AB; b) lungimea segmentului AC.
4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. Calculează: a) lungimea apotemei VM; b) tangenta unghiului dintre planele (VBC) și (ABC); c) distanța de la punctul O la planul (VBC).
5. Un stâlp vertical AB, cu înălțimea de 8 m, este fixat în punctul B al unui teren orizontal. Pe teren este trasată o alee dreaptă d, iar distanța de la baza B a stâlpului la alee este de 6 m. Un muncitor vrea să întindă un cablu de la vârful A al stâlpului până la alee, cât mai scurt posibil. Explică, folosind teorema celor trei perpendiculare, unde trebuie fixat cablul pe alee și calculează lungimea cablului.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Pe perpendiculara în A pe planul (ABC) se ia punctul P astfel încât PA = 4,8 cm. Calculează: a) distanța de la punctul A la dreapta BC; b) distanța de la punctul P la dreapta BC; c) măsura unghiului dintre planele (PBC) și (ABC).
7. Triunghiul echilateral ABC are latura de 6 cm. Dreapta MA este perpendiculară pe planul (ABC) și MA = 3 cm. Notăm cu D mijlocul laturii BC. a) Arată că MD ⊥ BC. b) Calculează măsura unghiului dintre planele (MBC) și (ABC). c) Calculează distanța de la punctul A la planul (MBC).
8. Pătratele ABCD și ABEF, cu latura de 4 cm, sunt situate în plane perpendiculare. a) Demonstrează că dreapta AD este perpendiculară pe planul (ABE). b) Calculează lungimea segmentului CF. c) Calculează distanța de la punctul D la dreapta EF.