Recapitulare – Calcul algebric în ℝ: fracții algebrice și ecuații de gradul al II-lea

1. Precizați valorile reale ale lui x pentru care fracțiile următoare NU sunt definite. Justificați. a) (2x + 1)/(x² − 16); b) (x + 3)/(x² − 6x + 9); c) 5x/(x² + 4).

2. Scrieți domeniul de definiție, apoi simplificați fracțiile: a) (x² − 25)/(x² + 5x); b) (4x² − 12x + 9)/(4x² − 9); c) (x² − 5x + 6)/(x² − 4x + 3).

3. Puneți condițiile de existență, apoi aduceți la forma cea mai simplă expresia: 1/(x − 3) + 1/(x + 3) − 6/(x² − 9).

4. Considerăm expresia E(x) = (x/(x − 2) − 8/(x² − 4)) · (x + 2)/(x² − 16). a) Determinați valorile reale ale lui x pentru care E(x) are sens. b) Arătați că E(x) = 1/(x − 4). c) Determinați valorile întregi ale lui x pentru care E(x) este număr întreg. d) Rezolvați ecuația E(x) = 1/2.

5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) x² − 7x + 12 = 0; b) 2x² − 5x − 3 = 0; c) x² + 2x + 5 = 0; d) (3x + 1)² = 16.

6. Scrieți câte o ecuație de gradul al doilea, cu coeficientul lui x² egal cu 1, care să aibă soluțiile: a) 3 și −7; b) 1 − √3 și 1 + √3. Explicați cum ați obținut ecuațiile.

7. Un dreptunghi are perimetrul de 34 cm și aria de 60 cm². Modelați situația printr-o ecuație de gradul al doilea, aflați lungimea și lățimea dreptunghiului, apoi calculați lungimea diagonalei sale.

8. Suma dintre un număr real pozitiv și inversul său este egală cu 10/3. Scrieți ecuația care modelează problema și determinați toate numerele care îndeplinesc condiția.