Recapitulare: calcul algebric în ℝ și ecuații de gradul al II-lea

1. Se consideră expresia E(x) = (2x − 3)² − (2x + 1)(2x − 1), unde x este număr real. Folosind formulele de calcul prescurtat, adu expresia E(x) la forma cea mai simplă. Apoi calculează E(1/2).

2. Descompune în factori următoarele expresii: a) 5x² − 20; b) x³ − 6x² + 9x; c) x² − 7x + 12; d) 2x² + x − 3.

3. Un teren dreptunghiular are lungimea cu 5 m mai mare decât lățimea, iar aria lui este de 84 m². Scrie ecuația care modelează situația, rezolv-o și determină dimensiunile terenului și perimetrul lui.

4. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) 3x² − 12x = 0; b) 4x² − 25 = 0; c) x² + 2x − 15 = 0; d) x² + x + 3 = 0.

5. Știind că x este un număr real nenul și că x − 1/x = 3, calculează: a) x² + 1/x²; b) x⁴ + 1/x⁴. Scrie toate etapele calculului.

6. Se consideră expresia E(x) = x² − 6x + 13, unde x este număr real. a) Arată că E(x) = (x − 3)² + 4, pentru orice x real. b) Arată că E(x) ≥ 4, pentru orice x real. Precizează valoarea minimă a lui E(x) și valoarea lui x pentru care se obține. c) Rezolvă în ℝ ecuația E(x) = 8.

7. Se consideră ecuația x² − 4x + m = 0, unde m este număr real. a) Determină numărul m, știind că x = −1 este soluție a ecuației. b) Pentru m = 3, rezolvă ecuația în ℝ. c) Determină numărul m pentru care ecuația are două soluții reale egale. d) Determină valorile lui m pentru care ecuația are două soluții reale diferite.

8. Se consideră expresia E(x) = (x/(x − 2) − 2/(x + 2)) · (x + 2)/(x² + 4), unde x este număr real. a) Determină valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) are sens. b) Arată că E(x) = 1/(x − 2), pentru toate valorile lui x găsite la punctul a). c) Determină valorile întregi ale lui x pentru care E(x) este număr întreg.