Recapitulare – Elemente ale geometriei în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 8 cm. Punctele E și F sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv BC. a) Demonstrați că punctele E, F, C' și A' sunt coplanare. b) Precizați natura patrulaterului EFC'A' și calculați perimetrul acestuia.
2. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. a) Demonstrați că MN ∥ (VCD). b) Demonstrați că (MNP) ∥ (ABC). c) Determinați dreapta de intersecție a planelor (VAB) și (VCD) și precizați poziția ei față de dreapta CD.
3. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determinați măsurile unghiurilor de mai jos și justificați fiecare răspuns: a) ∢(A'B, CD); b) ∢(A'B, B'D'); c) ∢(AC, B'D').
4. Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 6 cm, se ridică perpendiculara AM, M ∉ (ABC), cu AM = 8 cm. Notăm cu O centrul pătratului. a) Demonstrați că BC ⊥ (MAB) și deduceți că triunghiul MBC este dreptunghic. b) Calculați lungimea segmentului MC. c) Demonstrați că MO ⊥ BD și calculați distanța de la punctul M la dreapta BD.
5. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu AB = 6 cm și AA' = 6√3 cm. a) Precizați care este proiecția segmentului A'B pe planul (ABC). Justificați. b) Determinați măsura unghiului dintre dreapta A'B și planul (ABC). c) Calculați lungimea segmentului A'B.
6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Calculați lungimea apotemei VM a piramidei. b) Determinați măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC). c) Calculați distanța de la punctul O la planul (VBC).
7. Un stâlp vertical AB are înălțimea de 12 m, cu baza A pe un teren plan și orizontal. Stâlpul este susținut de trei cabluri întinse, fixate în vârful B și în punctele C, D și E de pe teren. Știind că AC = AD = AE = 5 m: a) modelați situația printr-o configurație geometrică și precizați ce relație există între dreapta AB și planul terenului; b) calculați lungimea fiecărui cablu și explicați de ce cele trei cabluri au aceeași lungime; c) calculați tangenta unghiului format de cablul BC cu planul terenului.
8. Se consideră piramida patrulateră regulată SABCD, cu latura bazei AB = 9 cm și înălțimea SO = 12 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchiile SA, SB, SC și SD în punctele M, N, P, respectiv R, astfel încât SM = SA/3. a) Demonstrați că MNPR este un pătrat cu latura de 3 cm. b) Calculați raportul dintre aria secțiunii MNPR și aria bazei ABCD. c) Calculați distanța dintre planele (MNP) și (ABC).