Recapitulare finală: intervale, calcul algebric, ecuații, funcții, geometrie în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | −5 ≤ 3x + 1 ≤ 7} și B = {x ∈ ℝ | |x − 1| < 4}. a) Scrieți mulțimile A și B sub formă de interval. b) Determinați A ∪ B și A ∩ B. c) Scrieți elementele mulțimii A ∩ ℤ. d) Calculați suma numerelor întregi din mulțimea B.
2. Arătați că valoarea expresiei E(x) = (2x − 3)² − (x + 2)(x − 2) − 3x(x − 4) nu depinde de numărul real x. Precizați formulele de calcul prescurtat pe care le-ați folosit.
3. Fie expresia E(x) = (2/(x − 3) + 1/(x + 3) − 6/(x² − 9)) : 3/(x + 3). a) Stabiliți domeniul de existență al expresiei. b) Arătați că E(x) = (x − 1)/(x − 3). c) Determinați numerele întregi x pentru care E(x) ∈ ℤ.
4. Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuațiile: a) x² − 7x + 10 = 0; b) 2x² + 3x − 2 = 0; c) (x + 1)² = 9; d) x² + x + 5 = 0. Pentru fiecare ecuație precizați metoda folosită: formula rădăcinilor, descompunerea în factori sau calculul direct.
5. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ. Punctele M(1; 4) și N(4; −2) aparțin graficului funcției f. a) Determinați numerele a și b. b) Determinați coordonatele punctelor A și B în care graficul funcției intersectează axa Ox, respectiv axa Oy. c) Calculați aria triunghiului OAB, unde O este originea sistemului de axe. d) Calculați distanța de la punctul O la reprezentarea grafică a funcției f.
6. Curtea unei școli are forma dreptunghiului ABCD, cu AB = 8 m și AD = 6 m. În colțul D se montează, perpendicular pe planul curții, un stâlp DE cu înălțimea de 8 m. Din vârful E se întind două fire de lumini spre colțurile A și B ale curții. a) Demonstrați că firul EA este perpendicular pe latura AB a curții. Numiți teorema folosită. b) Calculați lungimile EA și EB. c) Calculați lungimea minimă totală a celor două fire.
7. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Calculați: a) lungimea apotemei piramidei și lungimea muchiei laterale; b) aria laterală, aria totală și volumul piramidei; c) sinusul unghiului dintre o față laterală și planul bazei; d) distanța de la punctul O la planul (VBC).
8. O pâlnie are forma unui con circular drept cu raza bazei de 5 cm și înălțimea de 12 cm. Un vas are forma unui cilindru circular drept, cu aceeași rază a bazei și aceeași înălțime ca ale conului. a) Calculați lungimea generatoarei conului. b) Calculați aria laterală, aria totală și volumul conului. c) De câte ori trebuie umplută pâlnia, închisă la capătul îngust, pentru a umple complet vasul cilindric? Justificați. d) Încap în vasul cilindric 1 litru de apă? Justificați răspunsul, folosind π ≈ 3,14.