Recapitulare finală: intervale, calcul algebric, funcții, statistică, geometrie în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | −5 ≤ 3x + 1 < 10} și B = {x ∈ ℝ | |x − 2| ≤ 3}. a) Scrieți mulțimile A și B sub formă de interval. b) Determinați A ∩ B și A ∪ B. c) Scrieți numerele întregi care aparțin mulțimii A ∩ B.
2. Notele obținute de 10 elevi la un test sunt: 7, 9, 8, 10, 6, 9, 9, 8, 7, 10. Calculați media, mediana, modul (dominanta) și amplitudinea acestui set de date.
3. Fie expresia E(x) = (2x − 3)² − (x + 2)(x − 2) − 3x(x − 4), unde x ∈ ℝ. Arătați, folosind formulele de calcul prescurtat, că valoarea expresiei E(x) nu depinde de x.
4. Descompuneți în factori expresiile: a) 5x³ − 20x; b) x² − 10x + 25 − y²; c) x² + 3x − 10.
5. Fie expresia E(x) = [(x + 3)/(x − 3) − (x − 3)/(x + 3)] : [6x/(x + 3)]. a) Stabiliți domeniul de existență al expresiei. b) Aduceți expresia la forma cea mai simplă. c) Determinați numerele întregi x pentru care E(x) ∈ ℤ.
6. Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuațiile: a) 2x² − 5x − 3 = 0; b) (x − 1)² = 9.
7. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ. Punctele M(1; −1) și N(3; 3) aparțin graficului funcției. a) Determinați numerele a și b. b) Determinați coordonatele punctelor A și B în care graficul funcției intersectează axele Ox, respectiv Oy. c) Calculați aria triunghiului OAB, unde O este originea sistemului de axe. d) Determinați punctul de pe graficul funcției care are abscisa egală cu ordonata.
8. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul segmentului BC. a) Demonstrați că BC ⊥ (VOM). b) Calculați apotema piramidei. c) Calculați aria laterală, aria totală și volumul piramidei. d) Calculați sinusul unghiului dintre planul (VBC) și planul bazei. e) Calculați distanța de la punctul O la planul (VBC).