Recapitulare finală: intervale, calcul algebric, funcții, geometrie în spațiu, arii și volume
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | −5 ≤ 2x + 1 < 7} și B = [0; 6]. a) Scrieți mulțimea A sub formă de interval. b) Determinați A ∪ B și A ∩ B. c) Scrieți elementele mulțimii A ∩ ℤ.
2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3(x − 2) − 5 ≤ x + 3. Scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval. Apoi scrieți mulțimea soluțiilor care sunt numere naturale.
3. Se consideră expresia E(x) = (2x − 3)² − (x + 2)(x − 2) − 3x(x − 4), unde x ∈ ℝ. Aduceți expresia la forma cea mai simplă, folosind formulele de calcul prescurtat. Arătați apoi că valoarea expresiei nu depinde de x.
4. Descompuneți în factori expresiile: a) 3x³ − 12x; b) x² − 6x + 9 − y²; c) x² − 5x − 14. Precizați la fiecare metoda folosită: factor comun, formule de calcul prescurtat sau metode combinate.
5. Se consideră expresia E(x) = (x² − 4)/(x² + 4x + 4) : (x − 2)/(3x). a) Stabiliți domeniul de existență al expresiei. b) Aduceți expresia la forma cea mai simplă. c) Determinați numerele întregi x pentru care E(x) ∈ ℤ.
6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) x² − 7x + 12 = 0; b) 2x² + x − 6 = 0; c) x² + 2x + 5 = 0. La fiecare ecuație calculați discriminantul Δ. Explicați ce vă arată semnul lui Δ despre soluțiile ecuației.
7. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 6 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 3. a) Determinați coordonatele punctelor A și B, unde {A} = Gf ∩ Ox și {B} = Gf ∩ Oy. b) Calculați aria triunghiului OAB, unde O este originea sistemului de axe. c) Verificați dacă punctul P(−1; 8) aparține graficului funcției f. d) Determinați coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcțiilor f și g. e) Calculați distanța de la originea O la reprezentarea grafică a funcției f.
8. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. O este centrul bazei, iar M este mijlocul muchiei BC. a) Demonstrați că BC ⊥ (VOM). b) Calculați lungimea apotemei VM și lungimea muchiei laterale VA. c) Calculați aria laterală, aria totală și volumul piramidei. d) Calculați tangenta unghiului dintre planul (VBC) și planul bazei.