Recapitulare: fracții algebrice (amplificare, simplificare, valoare numerică, mulțime de definiție, operații)

1. Pentru x aparținând mulțimii de definiție a fiecărei fracții algebrice, amplifică cu x + 2 următoarele fracții și scrie rezultatul cu numărătorul și numitorul desfăcute (fără paranteze): a) 3/x; b) (x − 1)/(x + 3).

2. Pentru x aparținând mulțimii de definiție a fiecărei fracții algebrice, simplifică fracțiile de mai jos. Scrie descompunerile în factori folosite. a) (6x² + 9x)/(3x³); b) (x² − 6x + 9)/(x² − 9); c) (x² + 5x + 6)/(x² + 4x + 4).

3. Se consideră fracția algebrică F(x) = (x² − 2x + 3)/(x + 4). a) Calculează valoarea numerică a fracției pentru x = −2 și pentru x = 1. b) Explică de ce nu se poate calcula valoarea numerică a fracției pentru x = −4.

4. Determină mulțimea de definiție a fiecăreia dintre următoarele fracții algebrice. Justifică fiecare răspuns. a) (x + 1)/(x − 6); b) x/(x² − 16); c) (2x − 1)/(x² + 3x − 10); d) 3/(x² + 9).

5. Pentru x aparținând mulțimii de definiție a fiecărei fracții algebrice, efectuează și aduce rezultatul la forma cea mai simplă: a) 2/(x − 2) + 3/(x + 2); b) (x + 1)/(x − 3) − (x − 1)/(x + 3); c) 1/(x − 1) − 2/(x² − 1).

6. Pentru x aparținând mulțimii de definiție a fiecărei fracții algebrice, efectuează și simplifică rezultatul: a) (3x − 6)/(x + 1) · (x² + 2x + 1)/(x² − 4); b) (x² − 25)/(2x) : (x + 5)/(4x²).

7. Un biciclist parcurge un traseu de 60 km la dus cu viteza constantă v km/h și înapoi același traseu cu viteza constantă (v + 5) km/h. Se știe că timpul se calculează cu formula t = d/v. a) Scrie timpul total de deplasare (dus și întors) ca o expresie algebrică în funcție de v și adu-o la forma unei singure fracții. b) Calculează timpul total pentru v = 15 km/h.

8. Se consideră expresia algebrică E(x) = (x/(x − 2) − 2/(x + 2)) : (x² + 4)/(x + 2)², unde x ∈ ℝ \ {−2, 2}. a) Arată că E(x) = (x + 2)/(x − 2) pentru orice x ∈ ℝ \ {−2, 2}. b) Rezolvă ecuația E(x) = 3. c) Determină numerele întregi n, n ∉ {−2, 2}, pentru care E(n) este număr întreg.