Recapitulare: Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ

1. Scrieți sub formă de interval mulțimile: A = {x ∈ ℝ | −2 < x ≤ 7}, B = {x ∈ ℝ | x < 3}, C = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 5}, D = {x ∈ ℝ | |x − 1| < 4}.

2. Se consideră intervalul I = [−5; 2√3). Determinați: a) cel mai mic număr întreg din intervalul I; b) cel mai mare număr întreg din intervalul I; c) numărul de numere întregi din intervalul I; d) suma numerelor întregi din intervalul I. Justificați răspunsul de la punctul b).

3. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor de mai jos și justificați fiecare răspuns: a) √7 ∈ [2; 3); b) 3,(2) ∈ (3; 3,2]; c) [−1; 4) ⊂ (−2; 4]; d) (0; 3) ⊂ ℤ; e) 2⁰ + 18 : 3² ∈ (−1; 3).

4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuațiile și scrieți soluția sub formă de interval sau de reuniune de intervale: a) 4x − 3 ≤ 2x + 9; b) (x − 1)/2 − (2x + 1)/3 > 1; c) |2x − 3| ≤ 7; d) |x + 2| > 3.

5. Fie intervalele A = [−3; 4) și B = (1; 6]. Reprezentați intervalele pe axa numerelor, apoi determinați: A ∪ B, A ∩ B, (A ∪ B) ∩ ℕ și A ∩ B ∩ ℤ.

6. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | −1 ≤ (2x + 1)/3 < 3} și B = {x ∈ ℝ | |x − 3| ≤ 4}. a) Scrieți mulțimile A și B sub formă de intervale. b) Determinați A ∪ B și A ∩ B. c) Calculați card(A ∩ B ∩ ℕ).

7. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația −5/(3x − 6) ≥ 0. Precizați mai întâi pentru ce valori ale lui x expresia este definită. Apoi determinați cel mai mare număr întreg care verifică inecuația.

8. O firmă de taxi percepe 5 lei la pornire și 3 lei pentru fiecare kilometru parcurs. Ana are cel mult 50 de lei pentru o cursă. Notați cu x numărul de kilometri parcurși (x > 0). Scrieți inecuația care descrie situația, rezolvați-o și scrieți sub formă de interval mulțimea valorilor posibile ale lui x. Care este distanța maximă pe care o poate parcurge Ana?