Recapitulare: pozițiile relative ale dreptelor și planelor, paralelism în spațiu și unghiul a două drepte
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Scrie: a) o pereche de drepte paralele, care nu sunt situate în aceeași față a cubului; b) o pereche de drepte necoplanare; c) poziția dreptei A'B' față de planul (ABC). Justifică răspunsul.
2. Stabilește valoarea de adevăr a propoziției: „Dacă două drepte distincte sunt paralele cu același plan, atunci ele sunt paralele între ele.” Justifică răspunsul printr-un exemplu luat dintr-un cub ABCDA'B'C'D'.
3. Triunghiul ABC are latura BC inclusă în planul α, iar vârful A nu aparține planului α. Punctul M se află pe latura AB, iar punctul N se află pe latura AC, astfel încât MN ∥ α. Știind că AM = 4 cm, MB = 6 cm și AN = 6 cm, calculează lungimea segmentului NC. Scrie rezolvarea completă.
4. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determină măsura unghiului dintre dreptele: a) AB' și CD; b) AD' și B'C; c) A'C' și BC'. Justifică fiecare răspuns.
5. Se consideră tetraedrul regulat ABCD cu muchia de 8 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AB, AC, respectiv AD. a) Demonstrează că planele (MNP) și (BCD) sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului MNP. c) Determină măsura unghiului dintre dreptele MN și CD.
6. Piramida patrulateră regulată VABCD, cu vârful V, are toate muchiile de câte 6 cm. Determină măsura unghiului dintre dreptele: a) VA și CD; b) VA și VC. Scrie rezolvările complete.
7. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 8√3 cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor A'B, respectiv A'C. a) Demonstrează că dreapta MN este paralelă cu planul (ABC). b) Calculează lungimea segmentului MN. c) Determină măsura unghiului dintre dreptele MN și AD'.
8. În piramida triunghiulară regulată VABC, cu vârful V, notăm cu G₁ centrul de greutate al triunghiului VAB și cu G₂ centrul de greutate al triunghiului VAC. a) Demonstrează că G₁G₂ ∥ (ABC). b) Știind că BC = 18 cm, calculează lungimea segmentului G₁G₂. c) Știind că VA = AB = 18 cm, determină măsura unghiului dintre dreptele G₁G₂ și VB.