Recapitulare: proiecții, perpendicularitate, distanțe, unghiuri și secțiuni în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Determină: a) proiecția punctului C′ pe planul (ABC); b) proiecția punctului A pe planul (BCC′); c) proiecția segmentului A′C pe planul (ABC); d) proiecția segmentului B′C pe planul (ADD′); e) proiecția segmentului AC pe planul (A′B′C′).
2. Punctul A aparține planului α, iar punctul B nu aparține planului α. Segmentul AB formează cu planul α un unghi cu măsura de 30°, iar proiecția segmentului AB pe planul α are lungimea de 8√3 cm. Determină: a) distanța de la punctul B la planul α; b) lungimea segmentului AB.
3. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 15 cm și AD = 20 cm, se ridică perpendiculara MA, astfel încât MA = 5 cm. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că MB ⊥ BC. c) Determină distanța de la punctul M la dreapta BC. d) Determină distanța de la punctul M la dreapta BD.
4. Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu latura de 6 cm, se ridică perpendiculara AM, astfel încât AM = 9 cm. Fie D mijlocul laturii BC. a) Demonstrează că MD ⊥ BC. b) Determină măsura unghiului dintre planele (MBC) și (ABC).
5. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. a) Calculează lungimea apotemei piramidei. b) Calculează aria laterală a piramidei. c) Piramida se intersectează cu un plan paralel cu planul bazei, care trece prin punctul M de pe segmentul VO, astfel încât VM = 2 cm. Determină aria secțiunii obținute.
6. O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 6 cm, 8 cm și 24 cm. Se poate introduce, în această cutie, o baghetă rigidă cu lungimea de 25 cm? Justifică răspunsul dat.
7. Un con circular drept are raza bazei de 12 cm și înălțimea de 16 cm. a) Calculează lungimea generatoarei conului. b) Conul se intersectează cu un plan paralel cu planul bazei, situat la 1/4 din înălțime față de bază. Determină aria secțiunii obținute.
8. Un stâlp vertical AB, cu înălțimea de 6 m, este ancorat cu un cablu metalic întins de la vârful B al stâlpului până la punctul C de pe teren (terenul este orizontal, iar A este baza stâlpului). Cablul formează cu planul terenului un unghi cu măsura de 30°. a) Determină lungimea cablului metalic. b) Determină distanța de la baza stâlpului până la punctul C. c) La 10 m de baza stâlpului se află un gard. Stabilește dacă punctul C se află între stâlp și gard sau dincolo de gard. Justifică răspunsul dat.