Recapitulare și evaluare: calcul algebric, formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori, fracții algebrice, ecuația de gradul al II-lea
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Efectuați calculele și scrieți rezultatul în forma cea mai simplă: a) 8x − 5xy − 3x + 9xy; b) (−2x²y)³; c) 15x⁴y³ : (5xy²), unde x ≠ 0, y ≠ 0. Pentru expresia obținută la punctul b), precizați coeficientul și partea literală.
2. Folosind formulele de calcul prescurtat, arătați că, pentru orice număr real x: a) (x + 3)² − (x − 3)² = 12x; b) (2x − 1)² + (2x + 1)(1 − 2x) = 2 − 4x; c) (x − 2)(x + 2) − (x − 1)² = 2x − 5.
3. Descompuneți în factori următoarele expresii: a) x² − 10x + 21; b) 9x² − 25; c) x² + 14x + 49; d) (x + 1)² − 16; e) x³ − 4x.
4. a) Numerele reale a și b verifică egalitatea x² − 2x − 15 = (x + a)(x + b), pentru orice număr real x. Determinați suma a + b și produsul a · b. b) Determinați numerele reale a și b pentru care x² + ax − 12 = (x + 4)(x + b), pentru orice număr real x.
5. Se consideră fracția algebrică A(x) = (x² − 9) / (x² + 6x + 9), unde x este un număr real și x ≠ −3. a) Arătați că A(x) = (x − 3) / (x + 3). b) Calculați A(0) și A(√3). Scrieți rezultatul pentru A(√3) cu numitorul raționalizat. c) Determinați valoarea lui x pentru care A(x) = 0.
6. Efectuați calculele și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: a) 1/(x − 1) − 1/(x + 1), unde x ∈ ℝ \ {−1, 1}; b) (x² − 4)/(x + 3) : (x + 2)/(x² − 9), unde x ∈ ℝ \ {−3, −2, 3}.
7. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) x² − 5x + 6 = 0; b) 2x² + 3x − 2 = 0; c) x² − 4x + 5 = 0; d) (x − 4)² − 25 = 0. Pentru ecuația de la punctul a), calculați suma și produsul soluțiilor.
8. O grădină are forma unui dreptunghi. Lungimea ei este cu 3 m mai mare decât lățimea, iar aria este de 40 m². Notați cu x lățimea grădinii, în metri. a) Scrieți ecuația care modelează situația. b) Rezolvați ecuația și determinați dimensiunile grădinii. c) Calculați perimetrul grădinii. Scrieți rezolvarea completă.