Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare. Aplicații
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră un plan α, o dreaptă d cu d ∩ α = {A}, dreptele a ⊂ α și b ⊂ α, cu A ∈ a și a ∩ b = {B}, și un punct M ∈ d, M ≠ A. Notăm c = MB. Scrieți ipoteza și concluzia pentru: a) reciproca I a teoremei celor trei perpendiculare; b) reciproca a II-a a teoremei celor trei perpendiculare. c) Precizați pentru fiecare reciprocă la ce tip de problemă este utilă (ce fel de perpendicularitate sau distanță ne ajută să stabilim).
2. În dreptunghiul ABCD, AB = 8 cm și BC = 24 cm. Punctul E este exterior planului dreptunghiului, astfel încât EA = 6 cm, EB = 10 cm și EC = 26 cm. a) Demonstrați că EA ⊥ (ABC), precizând teorema folosită. b) Calculați lungimea segmentului ED.
3. Dreapta MA este perpendiculară pe planul triunghiului ABC. Fie D ∈ BC astfel încât MD ⊥ BC. Se știe că MA = 6 cm, MD = 10 cm și BC = 15 cm. a) Demonstrați că AD ⊥ BC. b) Calculați aria triunghiului ABC.
4. Dreapta SA este perpendiculară pe planul paralelogramului ABCD, iar SB ⊥ BC. a) Demonstrați că ABCD este dreptunghi. b) Pentru AB = 6 cm, BC = 8 cm și SA = 8 cm, calculați distanța de la punctul S la dreapta BC și lungimea segmentului SC.
5. Triunghiul ABC are AB = 6 cm, BC = 8 cm și AC = 10 cm. Punctul P este exterior planului (ABC), iar proiecția lui P pe planul (ABC) este punctul O, situat în interiorul triunghiului. Distanțele de la P la dreptele AB, BC și CA sunt egale. a) Demonstrați că O este centrul cercului înscris în triunghiul ABC. b) Știind că PO = 4 cm, calculați distanța de la punctul P la dreapta AB.
6. Un elev afirmă: „Dacă punctul M este exterior planului triunghiului ABC, MA ⊥ AB și MB ⊥ BC, atunci MA ⊥ (ABC).” Analizați afirmația: stabiliți dacă este adevărată în orice situație și justificați răspunsul, comparând ipoteza ei cu ipoteza reciprocei a II-a a teoremei celor trei perpendiculare. Precizați ce condiție trebuie adăugată pentru ca afirmația să fie mereu adevărată.
7. Un stâlp vertical MA, cu baza A, are înălțimea de 9 m și este fixat pe un teren plan. Pe teren există un gard drept, modelat printr-o dreaptă b. De la vârful M al stâlpului se întinde un cablu drept până la un punct B al gardului, astfel încât cablul MB este perpendicular pe gard și are lungimea de 15 m. a) Modelați situația printr-un desen și demonstrați că AB ⊥ b. b) Calculați distanța de la baza stâlpului la gard și explicați de ce acesta este răspunsul corect.
8. Dreapta MA este perpendiculară pe planul triunghiului ABC, iar MA = 5 cm. Punctul D este mijlocul laturii BC, BC = 10 cm, iar distanța de la M la dreapta BC este MD = 13 cm. a) Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel. b) Calculați perimetrul triunghiului ABC. c) Fie N proiecția punctului A pe dreapta MD. Demonstrați că AN ⊥ (MBC) și calculați distanța de la punctul A la planul (MBC).