Secțiuni paralele cu baza în corpurile studiate. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 10 cm. Prisma se secționează cu un plan α, paralel cu baza ABC, care intersectează muchiile laterale AA′, BB′, CC′ în punctele M, N, respectiv P, astfel încât AM = 4 cm. a. Realizați un desen corespunzător și precizați natura secțiunii MNP. b. Numiți corpurile obținute prin secționare și precizați înălțimea fiecăruia. c. Calculați perimetrul și aria secțiunii.
2. Un cilindru circular drept are bazele discurile de centre O și O′. Lungimea cercului bazei este 10π cm, iar înălțimea OO′ = 12 cm. Cilindrul se secționează cu un plan paralel cu bazele, care intersectează segmentul OO′ în punctul Q, astfel încât OQ = OO′/3. a. Precizați natura secțiunii și unde se află centrul acesteia. b. Numiți corpurile obținute și precizați raza și înălțimea fiecăruia. c. Calculați aria secțiunii.
3. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm și VA = 15 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchiile laterale VA, VB, VC, VD în punctele A′, B′, C′, respectiv D′, astfel încât VA′ = 5 cm. a. Justificați că A′B′ ∥ AB și că triunghiurile VA′B′ și VAB sunt asemenea. b. Determinați lungimea segmentului A′B′, apoi perimetrul și aria secțiunii A′B′C′D′. c. Determinați lungimea muchiei laterale a trunchiului de piramidă ABCDA′B′C′D′.
4. Piramida triunghiulară regulată VABC are muchia bazei AB = 9 cm și înălțimea VO = 12 cm, unde O este centrul bazei. Un plan paralel cu baza intersectează înălțimea VO în punctul O′, cu VO′ = 8 cm, și muchiile laterale VA, VB, VC în punctele A′, B′, respectiv C′. a. Precizați ce puncte sunt coliniare și justificați. b. Determinați raportul de asemănare al piramidelor VA′B′C′ și VABC și lungimea muchiei A′B′. c. Calculați aria secțiunii și raportul dintre aria secțiunii și aria bazei ABC. d. Precizați înălțimea trunchiului de piramidă obținut.
5. Un con circular drept are raza bazei R = 9 cm și înălțimea VO = 12 cm. Conul se secționează cu un plan paralel cu baza, care intersectează înălțimea în punctul O′, cu OO′ = 4 cm. a. Calculați lungimea generatoarei conului inițial. b. Numiți și descrieți corpurile obținute prin secționare. c. Determinați raza secțiunii și aria acesteia. d. Determinați lungimea generatoarei conului mic și pe cea a generatoarei trunchiului de con.
6. Se consideră trunchiul de piramidă hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′, cu AB = 8 cm și A′B′ = 4 cm. a. Precizați baza mare, baza mică, muchiile laterale și fețele laterale ale trunchiului. Ce natură au fețele laterale? b. Câte vârfuri, câte muchii și câte fețe are trunchiul? c. Calculați perimetrele celor două baze și raportul de asemănare al bazelor.
7. Un monument are forma unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de 6 m și înălțimea de 4 m. Din motive de siguranță, vârful monumentului se taie cu un plan paralel cu baza, care trece prin mijlocul înălțimii, iar partea de sus se îndepărtează. a. Ce corp geometric reprezintă monumentul după tăiere? b. Calculați aria suprafeței de sus a monumentului (secțiunea). c. Arătați că apotema piramidei inițiale este de 5 m, apoi calculați aria suprafeței laterale a monumentului rămas, care trebuie vopsită.
8. Piramida patrulateră regulată SABCD are SA = 18 cm și AB = 12 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchiile SA, SB, SC, SD în punctele M, N, P, respectiv Q. Se știe că aria secțiunii MNPQ este 16 cm². a. Determinați lungimea laturii MN și raportul de asemănare al piramidelor SMNPQ și SABCD. b. Determinați lungimea segmentului SM și lungimea muchiei laterale AM a trunchiului de piramidă. c. Precizați natura patrulaterului ABNM și justificați răspunsul.