Secțiuni paralele cu baza în piramidă și con. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

1. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB = 12 cm. Pe muchia VA se ia punctul A' astfel încât VA' = (1/3)·VA. Prin A' se duce un plan paralel cu planul bazei, care intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele B', C', respectiv D'. a) Precizați natura patrulaterului A'B'C'D' și justificați. b) Calculați lungimea laturii A'B', perimetrul și aria secțiunii A'B'C'D'. c) Calculați raportul dintre aria secțiunii și aria bazei ABCD.

2. Un con circular drept are vârful V, raza bazei OA = 12 cm și înălțimea VO = 16 cm. Conul se secționează cu un plan paralel cu baza, situat la distanța de 12 cm de planul bazei. Notăm cu O' centrul cercului de secțiune. a) Calculați lungimea VO' și raportul de asemănare k dintre conul mic și conul inițial. b) Calculați raza cercului de secțiune și aria secțiunii. c) Calculați lungimea generatoarei conului inițial și lungimea generatoarei trunchiului de con obținut.

3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' are latura bazei mari AB = 10 cm, latura bazei mici A'B' = 4 cm și apotema trunchiului MM' = 4 cm, unde M și M' sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv B'C'. a) Precizați natura fețelor laterale ale trunchiului și calculați lungimea muchiei laterale BB'. b) Notăm cu O și O' centrele bazelor. Calculați apotemele bazelor, OM și O'M', apoi înălțimea trunchiului OO'. c) Calculați lungimea apotemei VM a piramidei regulate VABCD din care provine trunchiul.

4. Pe muchia VA a piramidei triunghiulare VABC se consideră punctul M astfel încât VM/MA = 3/2. Prin M se construiește un plan paralel cu planul (ABC), care intersectează muchiile VB și VC în punctele N, respectiv P. a) Demonstrați că MN ∥ AB și scrieți raportul de asemănare dintre triunghiurile MNP și ABC. b) Calculați raportul perimetrelor și raportul ariilor triunghiurilor MNP și ABC. c) Știind că aria triunghiului ABC este de 50 cm², calculați aria triunghiului MNP.

5. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 16 cm și muchia laterală VA = 24 cm. Un plan paralel cu baza determină în piramidă o secțiune A'B'C'D' (A' ∈ VA, B' ∈ VB, C' ∈ VC, D' ∈ VD) cu aria de 36 cm². a) Determinați lungimea laturii bazei mici a trunchiului de piramidă obținut. b) Determinați raportul de asemănare dintre piramida VA'B'C'D' și piramida VABCD. c) Calculați lungimea muchiei laterale AA' a trunchiului de piramidă.

6. Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari R = 9 cm, raza bazei mici r = 3 cm și generatoarea de 10 cm. a) Desenați trunchiul de con, puneți în evidență centrele O și O' ale bazelor și o generatoare AA', apoi calculați înălțimea OO' a trunchiului. b) Calculați lungimea generatoarei conului din care provine trunchiul. c) Calculați înălțimea conului din care provine trunchiul și verificați rezultatul cu ajutorul teoremei lui Pitagora.

7. O lanternă așezată în punctul V luminează perpendicular un perete aflat la 3 m de ea. Fasciculul de lumină are forma unui con circular drept cu vârful V, iar pe perete se formează un disc luminos cu raza de 60 cm. Între lanternă și perete se așază o foaie de carton, paralelă cu peretele. a) Dacă foaia se află la 1 m de lanternă, calculați raza discului luminos format pe foaie. b) Calculați raportul dintre aria discului de pe foaie și aria discului de pe perete. c) La ce distanță de lanternă trebuie așezată foaia pentru ca discul luminos de pe ea să aibă raza de 40 cm? Justificați folosind asemănarea.

8. Un trunchi de piramidă patrulateră ABCDA'B'C'D' are baza mare dreptunghiul ABCD, cu AB = 15 cm și BC = 10 cm, și baza mică dreptunghiul A'B'C'D', cu A'B' = 9 cm și B'C' = 6 cm. Muchia laterală AA' are lungimea de 8 cm. a) Arătați că bazele trunchiului sunt dreptunghiuri asemenea și determinați raportul de asemănare k = A'B'/AB. b) Calculați raportul dintre aria bazei mici și aria bazei mari. c) Notăm cu V vârful piramidei din care provine trunchiul. Calculați lungimile segmentelor VA și VA'.