Secțiuni paralele cu baza în prismă, cilindru, piramidă și con. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 6 cm și AA′ = 12 cm. Un plan α, paralel cu bazele prismei, intersectează muchiile laterale AA′, BB′, CC′ în punctele M, N, respectiv P, astfel încât AM = 5 cm. a) Realizați un desen care să corespundă datelor problemei. b) Precizați natura secțiunii MNP și justificați răspunsul. c) Calculați perimetrul și aria secțiunii MNP. d) Numiți corpurile geometrice obținute prin secționare și precizați lungimile muchiilor laterale ale acestora.
2. Un cilindru circular drept are raza bazei de 4 cm și generatoarea de 10 cm. Cilindrul se secționează cu un plan paralel cu bazele, situat la distanța de 3 cm de una dintre baze. a) Precizați natura secțiunii și calculați aria acesteia. b) Numiți corpurile obținute prin secționare și precizați raza bazei și generatoarea fiecăruia. c) Calculați aria secțiunii axiale pentru fiecare dintre cele două corpuri obținute.
3. Piramida triunghiulară VABC are baza triunghiul ABC, cu AB = 9 cm, BC = 12 cm și AC = 15 cm, iar muchia laterală VA = 12 cm. Prin punctul A₁ al muchiei VA, cu VA₁ = 4 cm, se duce un plan paralel cu baza, care intersectează muchiile VB și VC în B₁, respectiv C₁. a) Determinați raportul de asemănare dintre triunghiurile A₁B₁C₁ și ABC. b) Calculați lungimile laturilor A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁ și perimetrul secțiunii. c) Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic, apoi calculați aria secțiunii și raportul dintre aria secțiunii și aria bazei ABC.
4. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 9 cm, unde O este centrul bazei. Un plan paralel cu baza intersectează înălțimea VO în punctul O₁, astfel încât OO₁ = 6 cm, și muchiile laterale VA, VB, VC, VD în A₁, B₁, C₁, respectiv D₁. a) Precizați natura secțiunii A₁B₁C₁D₁ și calculați latura și aria acesteia. b) Numiți corpul geometric ABCDA₁B₁C₁D₁ și indicați bazele, muchiile laterale și fețele lui laterale. c) Calculați lungimea muchiei laterale VA a piramidei și lungimea muchiei laterale AA₁ a corpului ABCDA₁B₁C₁D₁.
5. Un con circular drept are vârful V, raza bazei R = 9 cm și înălțimea VO = 12 cm. Conul se secționează cu un plan paralel cu baza, situat la distanța de 4 cm de planul bazei. Planul intersectează axa VO în O₁ și o generatoare VM în N. a) Calculați lungimea generatoarei VM a conului. b) Determinați raza secțiunii și aria acesteia. c) Calculați lungimea generatoarei MN a trunchiului de con obținut.
6. Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA₁B₁C₁D₁ are muchia bazei mari AB = 10 cm, muchia bazei mici A₁B₁ = 4 cm și muchia laterală AA₁ = 9 cm. Trunchiul provine din piramida VABCD. a) Calculați perimetrul unei fețe laterale a trunchiului. b) Calculați lungimile muchiilor laterale VA₁ și VA. c) Calculați înălțimea trapezului ABB₁A₁ și aria acestei fețe laterale.
7. O găleată are forma unui trunchi de con circular drept, cu raza bazei mari de 15 cm, raza bazei mici de 10 cm și generatoarea de 13 cm. a) Explicați cum se poate obține un trunchi de con circular drept prin rotirea unei suprafețe plane. b) Calculați înălțimea găleții. c) Găleata este considerată ca provenind dintr-un con circular drept secționat cu un plan paralel cu baza. Calculați înălțimea și generatoarea acestui con.
8. Tetraedrul regulat SABC are muchia de 12 cm. Planul α, paralel cu baza ABC, intersectează muchiile SA, SB, SC în punctele M, N, respectiv P, astfel încât SM = 4 cm. a) Demonstrați că triunghiul MNP este echilateral și calculați lungimea laturii lui. b) Calculați aria secțiunii MNP și raportul dintre aria secțiunii și aria bazei ABC. c) Calculați aria fețe laterale ABNM a trunchiului de piramidă ABCMNP.