Sfera și bila: secțiuni, arie și volum

1. Se consideră sfera S(O, 10 cm) și trei plane α, β, γ, aflate la distanțele d(O, α) = 12 cm, d(O, β) = 10 cm și d(O, γ) = 6 cm față de centrul sferei. Precizați, pentru fiecare plan, ce este intersecția lui cu sfera (mulțimea vidă, un punct sau un cerc) și cum se numește planul față de sferă (exterior, tangent sau secant). În cazul în care intersecția este un cerc, calculați raza acestuia.

2. O minge are forma unei sfere cu diametrul de 10 cm. Calculați aria sferei și volumul bilei corespunzătoare. Lăsați rezultatele exprimate cu π.

3. Aria unei sfere este de 144π cm². Aflați raza sferei, apoi calculați volumul bilei mărginite de această sferă.

4. Volumul unei bile este de 36π cm³. Determinați raza bilei și aria sferei care o mărginește. Comparați cele două valori numerice obținute (aria în cm² și volumul în cm³) și formulați o concluzie.

5. O sferă cu raza de 13 cm este secționată cu un plan aflat la distanța de 5 cm față de centrul ei. Realizați un desen sugestiv, apoi calculați raza cercului de secțiune, lungimea acestui cerc și aria discului de secțiune.

6. Pentru a vopsi o bilă decorativă din lemn sunt necesari 20 ml de vopsea. O altă bilă, din același lemn, are raza de două ori mai mare. Prima bilă cântărește 250 g. a) Câți mililitri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi a doua bilă? b) Cât cântărește a doua bilă? Justificați răspunsurile folosind formulele ariei sferei și volumului bilei.

7. Se topesc împreună 27 de bile metalice identice, fiecare cu raza de 2 cm. Din tot materialul obținut, fără pierderi, se toarnă o singură bilă. Aflați raza noii bile și aria sferei care o mărginește.

8. Un vas în formă de cilindru circular drept are raza bazei de 6 cm și conține apă. În vas se introduce o bilă din oțel cu raza de 3 cm, care se scufundă complet, iar apa nu se revarsă. Cu câți centimetri se ridică nivelul apei din vas? Neglijați grosimea pereților vasului.