Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanței de la un punct la o dreaptă
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră planul α, dreapta d inclusă în α, punctul M exterior planului α, punctul O ∈ α, cu MO ⊥ α, și punctul A ∈ d, cu OA ⊥ d (O ∉ d). a) Scrie ipoteza și concluzia teoremei celor trei perpendiculare pentru această configurație. b) Explică, pas cu pas, de ce MA ⊥ d. c) Precizează ce reprezintă lungimea segmentului MA și în ce triunghi dreptunghic se poate calcula aceasta.
2. Pe planul pătratului ABCD, cu AB = 6 cm, se ridică perpendiculara AM = 8 cm. Calculează distanțele de la punctul M la dreptele BC, CD și BD. Justifică, de fiecare dată, folosirea teoremei celor trei perpendiculare.
3. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB = 8 cm și BC = 6 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara AM = 3,6 cm. a) Construiește piciorul E al perpendicularei din A pe diagonala BD și calculează AE. b) Demonstrează că ME ⊥ BD. c) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BD.
4. Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu AB = 12 cm, se ridică perpendiculara MO = 2 cm, unde O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. a) Explică de ce distanțele de la punctul M la cele trei laturi ale triunghiului sunt egale. b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BC.
5. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, cu m(∢A) = 90°, AB = 6 cm și AC = 8 cm, se ridică perpendiculara AM = 6,4 cm. a) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BC. b) Calculează aria triunghiului MBC.
6. Un stâlp vertical OM, cu înălțimea de 9 m, este fixat într-un teren plan orizontal. Marginea unei străzi drepte, situată pe același teren, este reprezentată de dreapta d. Piciorul perpendicularei din baza O a stâlpului pe dreapta d este punctul A, iar OA = 12 m. a) Modelează situația printr-un desen și arată că MA este cel mai scurt cablu care se poate întinde din vârful M al stâlpului până la marginea străzii. b) Calculează lungimea MA. c) Un al doilea cablu leagă punctul M de un punct B situat pe dreapta d, cu AB = 8 m. Calculează lungimea MB.
7. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 4 cm și punctul O, intersecția diagonalelor AC și BD. a) Demonstrează că A'O ⊥ BD și calculează distanța de la punctul A' la dreapta BD. b) Demonstrează că D'C ⊥ BC și calculează distanța de la punctul D' la dreapta BC.
8. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AM = 6 cm. Fie D mijlocul laturii BC. a) Demonstrează că dreapta BC este perpendiculară pe planul (MAD). b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BC. c) Calculează aria triunghiului MBC.