Teorema celor trei perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră dreptunghiul ABCD și punctul M exterior planului său, astfel încât MA ⊥ (ABC). a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că MB ⊥ BC. c) Demonstrează că MD ⊥ DC. Precizează, la fiecare punct, teorema folosită.
2. Triunghiul ABC este echilateral, cu latura de 8 cm. În vârful A se ridică perpendiculara AD pe planul triunghiului, cu AD = 4 cm. a) Construiește perpendiculara din D pe dreapta BC și justifică, folosind reciproca I a teoremei celor trei perpendiculare, unde se află piciorul acesteia. b) Determină distanța de la punctul D la dreapta BC.
3. Pe planul triunghiului isoscel ABC, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm, se ridică perpendiculara PA, cu PA = 6 cm. a) Determină distanța de la punctul P la dreapta BC. b) Calculează aria triunghiului PBC.
4. Se consideră pătratul ABCD, cu latura de 6 cm, și punctul P astfel încât PD ⊥ (ABC) și PD = 8 cm. Determină: a) distanța de la punctul P la dreapta AB; b) distanța de la punctul P la dreapta BC; c) distanța de la punctul P la diagonala AC. Justifică, de fiecare dată, construcția perpendicularei.
5. Pe planul triunghiului ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm, se ridică perpendiculara AM, cu AM = 3,6 cm. Notăm cu D piciorul înălțimii din A a triunghiului ABC. a) Arată că AD = 4,8 cm. b) Demonstrează că MD ⊥ BC. c) Determină distanța de la punctul M la dreapta BC.
6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. b) Construiește perpendiculara OP pe VM, cu P ∈ VM, și demonstrează că OP ⊥ (VBC). c) Determină distanța de la punctul O la planul (VBC).
7. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′, cu muchia de 6 cm. a) Justifică faptul că planele (ADD′) și (BCC′) sunt paralele și determină distanța dintre ele. b) Notăm cu O centrul feței ABCD. Demonstrează că AO ⊥ (BDD′). c) Determină distanța de la punctul A la planul (BDD′).
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, unde ABCD este podeaua, cu AB = 5 m, BC = 4 m și înălțimea AA′ = 3 m. În centrul L al tavanului A′B′C′D′ este montată o lustră (considerată un punct). a) Explică de ce planul podelei și planul tavanului sunt paralele și precizează distanța dintre ele. b) Determină distanța de la lustră la dreapta AB (muchia dintre podea și peretele ABB′A′). Folosește teorema celor trei perpendiculare. c) Determină distanța de la lustră la planul peretelui (ABB′).