Teorema celor trei perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendiculara MA, unde M ∉ (ABC). Folosind teorema celor trei perpendiculare, demonstrează că MB ⊥ BC și că MD ⊥ DC. Scrie ipoteza și concluzia fiecărei aplicări a teoremei. Precizează apoi care sunt triunghiurile dreptunghice obținute și unghiul drept al fiecăruia.
2. Pe planul triunghiului ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm, se ridică perpendiculara AM, cu AM = 9,6 cm. Construiește perpendiculara din M pe dreapta BC și justifică această construcție. Calculează apoi distanța de la punctul M la dreapta BC.
3. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. În punctul A se ridică perpendiculara AP pe planul triunghiului, cu AP = 9 cm. a) Calculează distanța de la punctul P la dreapta BC. b) Precizează distanța de la punctul P la dreapta AB și justifică răspunsul.
4. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 8 cm și BC = 6 cm, se ridică perpendiculara DE, cu DE = 6,4 cm. a) Calculează distanța de la punctul E la diagonala AC. b) Calculează tangenta unghiului format de planele (EAC) și (ABC).
5. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm și AC ∩ BD = {O}. a) Arată că A'O ⊥ BD. b) Construiește perpendiculara din A pe planul (A'BD) și justifică construcția folosind reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare. c) Calculează distanța de la punctul A la planul (A'BD).
6. Planele α și β sunt paralele. Punctul A aparține planului α, iar punctul B aparține planului β. Știm că AB = 26 cm și că proiecția segmentului AB pe planul β are lungimea de 24 cm. a) Calculează distanța dintre planele α și β. b) Un alt segment, CD, are C ∈ α și D ∈ β și formează cu planul β un unghi de 30°. Calculează lungimea segmentului CD.
7. Un stâlp vertical AM, cu înălțimea de 6 m, este fixat pe un teren plan în punctul A. Pe teren se află un gard drept, reprezentat de dreapta a. Distanța de la baza stâlpului la gard este de 8 m și se măsoară pe perpendiculara AB, cu B ∈ a. Din vârful M al stâlpului se întinde un cablu până la gard. a) Modelează situația printr-un desen. Folosind teorema celor trei perpendiculare, arată că lungimea minimă a cablului este MB, apoi calculeaz-o. b) Un punct C al gardului se află la 6 m de B. Calculează lungimea cablului MC și verifică dacă MC > MB.
8. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde {O} = AC ∩ BD. a) Calculează distanța de la punctul V la dreapta BC. b) Calculează distanța de la punctul O la planul (VBC). c) Calculează distanța de la punctul A la planul (VBC).