Teorema celor trei perpendiculare – distanța de la un punct la o dreaptă
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Pe planul pătratului ABCD, cu latura AB = 6 cm, se ridică perpendiculara AM, cu AM = 8 cm. a) Demonstrează, folosind teorema celor trei perpendiculare, că MB ⊥ BC. Scrie schema demonstrației. b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta BC.
2. ABCDA′B′C′D′ este un cub cu muchia de 4 cm, iar O este punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD. a) Demonstrează că A′O ⊥ BD. b) Calculează distanța de la punctul A′ la dreapta BD.
3. Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu latura de 6 cm, se ridică în A perpendiculara AP, cu AP = 3 cm. Fie M mijlocul laturii BC. a) Arată că PM ⊥ BC. b) Calculează distanța de la punctul P la dreapta BC.
4. Dreptunghiul ABCD are AB = 12 cm și AD = 9 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara AM, cu AM = 9,6 cm. a) Construiește perpendiculara din M pe dreapta BD și justifică construcția cu teorema celor trei perpendiculare. b) Calculează distanța de la M la BD.
5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu O centrul bazei, AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Demonstrează că VM ⊥ BC. b) Calculează distanța de la vârful V la dreapta BC. c) Calculează aria laterală a piramidei.
6. Un stâlp vertical AB, cu înălțimea de 12 m, are baza B pe un teren orizontal. Pe teren este trasată o alee dreaptă d, iar distanța de la baza stâlpului la alee este de 5 m. Din vârful A al stâlpului trebuie întins un cablu până la un punct al aleii, iar cablul trebuie să aibă lungimea cea mai mică posibilă. Realizează un desen al situației. Explică, folosind teorema celor trei perpendiculare, unde trebuie fixat cablul pe alee. Calculează lungimea cablului.
7. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AD, cu AD = 3,6 cm. a) Calculează distanța de la punctul D la dreapta BC. b) Calculează aria triunghiului DBC.
8. În vârful A al hexagonului regulat ABCDEF, cu latura de 4 cm, se ridică perpendiculara pe planul hexagonului. Pe această perpendiculară se consideră punctul G, astfel încât AG = 4 cm. a) Arată că AC ⊥ CD. b) Demonstrează că GC ⊥ CD. c) Calculează distanța de la punctul G la dreapta CD.