Teorema celor trei perpendiculare și reciprocele ei
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în B. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AM, M ∉ (ABC). Demonstrați, folosind teorema celor trei perpendiculare, că MB ⊥ BC. Precizați apoi natura triunghiului MBC. Scrieți toate ipotezele folosite: dreapta perpendiculară pe plan, perpendiculara din plan și dreapta din plan.
2. Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 8 cm, se ridică perpendiculara CM, M ∉ (ABC), CM = 6 cm. Notăm cu O intersecția diagonalelor pătratului. a) Construiți perpendiculara din M pe dreapta AB, justificând construcția, și calculați d(M, AB). b) Construiți perpendiculara din M pe dreapta BD, justificând construcția, și calculați d(M, BD).
3. Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu latura de 12 cm, se ridică perpendiculara AD, D ∉ (ABC), AD = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC. a) Demonstrați că DM ⊥ BC. b) Calculați distanța de la punctul D la dreapta BC.
4. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 12 cm și AD = 9 cm, se ridică perpendiculara AM, M ∉ (ABC), AM = 9,6 cm. a) Descrieți etapele de construcție a perpendicularei din M pe diagonala BD și justificați-le cu teorema celor trei perpendiculare. b) Calculați d(M, BD).
5. În triunghiul ABC se cunosc AB = 13 cm, AC = 15 cm și BC = 14 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AD, D ∉ (ABC), AD = 5 cm. Fie E ∈ BC astfel încât DE ⊥ BC. a) Demonstrați că AE este înălțime în triunghiul ABC. Precizați ce teoremă ați folosit. b) Știind că aria triunghiului ABC este 84 cm², calculați lungimile segmentelor AE, DE și BE.
6. Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 6 cm, se ridică perpendiculara AM, M ∉ (ABC), AM = 3 cm. Notăm cu O centrul pătratului. Fie E piciorul perpendicularei din A pe MO. a) Demonstrați că MO ⊥ BD. b) Demonstrați că AE ⊥ (MBD), folosind reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare. c) Calculați distanța de la punctul A la planul (MBD).
7. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. Notăm cu O centrul feței ABCD. a) Demonstrați că D'O ⊥ AC și calculați d(D', AC). b) Demonstrați că A'B ⊥ BC și calculați d(A', BC).
8. Pe un teren plan este fixat vertical un stâlp MO, cu înălțimea de 8 m, unde O este baza stâlpului. Marginea terenului este mărginită de un gard drept, modelat printr-o dreaptă a. Distanța de la baza stâlpului la gard este de 6 m și se măsoară pe perpendiculara OA, cu A ∈ a. a) Modelați situația printr-o configurație geometrică și justificați că segmentul MA reprezintă distanța de la vârful stâlpului la gard. b) Calculați această distanță. c) De vârful M se leagă un cablu întins până la un punct P al gardului, situat la 24 m de punctul A. Calculați lungimea cablului.