Unghi diedru, unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Completați definițiile: „Figura geometrică formată din două semiplane care au aceeași frontieră se numește ...... . Cele două semiplane se numesc ...... diedrului, iar frontiera lor comună se numește ...... diedrului.” b) Un laptop deschis formează un unghi diedru. Precizați care este muchia diedrului și care sunt fețele lui. c) Dați încă un exemplu de unghi diedru din clasa voastră. Precizați muchia și fețele lui.
2. Două plane secante α și β determină patru unghiuri diedre. Unul dintre ele are măsura de 70°. a) Determinați măsurile celorlalte trei diedre. b) Precizați măsura unghiului dintre planele α și β. Justificați răspunsul. c) Andrei afirmă: „Măsura unghiului dintre două plane poate fi 120°.” Are dreptate? Explicați. d) Explicați de ce unghiul format de două semidrepte oarecare, cu originea pe muchie și conținute în fețele diedrului, nu dă întotdeauna măsura diedrului. Ce condiții trebuie să îndeplinească aceste semidrepte?
3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 6 cm. a) Arătați că ∢ABC este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele ABB'A' și BCC'B'. Precizați măsura acestui diedru. b) Determinați măsura unghiului dintre planele (A'B'C) și (ABC). c) Determinați tangenta unghiului dintre planele (ADC') și (ABC). Pentru fiecare punct, scrieți dreapta de intersecție a planelor și cele două drepte perpendiculare pe ea.
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm, unde O este centrul pătratului ABCD. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Demonstrați că ∢VMO este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fața (VBC) și baza (ABC). b) Calculați măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC). c) Calculați lungimea apotemei VM a piramidei.
5. Se consideră tetraedrul regulat ABCD, cu muchia de 6 cm, și M, mijlocul muchiei CD. a) Demonstrați că ∢AMB este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de fețele (ACD) și (BCD). b) Calculați lungimea segmentului AM. c) Proiecția punctului A pe planul (BCD) este centrul de greutate G al triunghiului BCD. Calculați tangenta unghiului dintre planele (ACD) și (BCD).
6. Un carton în formă de triunghi echilateral ABC, cu latura de 8 cm, se îndoaie după înălțimea AD, D ∈ BC. a) Explicați de ce, după îndoire, ∢BDC este un unghi plan corespunzător diedrului determinat de planele (ABD) și (ACD). b) Determinați măsura unghiului dintre planele (ABD) și (ACD), știind că, după îndoire, BC = 4 cm. c) Cât trebuie să fie lungimea segmentului BC, după îndoire, pentru ca planele (ABD) și (ACD) să fie perpendiculare?
7. Un laptop este așezat pe masă cu tastatura lipită de planul mesei. Ecranul are forma dreptunghiului ABCD, cu balamaua AB și BC = 30 cm. Diedrul format de ecran și tastatură are măsura de 120°. a) Determinați măsura unghiului dintre planul ecranului și planul mesei. Justificați. b) Calculați distanța de la punctul C (marginea de sus a ecranului) la planul mesei. c) Cât ar fi această distanță dacă ecranul ar fi deschis astfel încât diedrul format cu tastatura să aibă 90°?
8. Pătratul ABCD, cu latura de 6 cm, și triunghiul echilateral ABE au latura AB comună, iar planele lor sunt perpendiculare. Fie M mijlocul segmentului AB și N mijlocul segmentului CD. a) Demonstrați că EM ⊥ (ABC). b) Determinați măsura unghiului dintre planele (EBC) și (ABC). c) Calculați lungimile segmentelor EM și EC. d) Calculați tangenta unghiului dintre planele (ECD) și (ABC).