Unghi diedru, unghi plan corespunzător unui diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. a) Precizați muchia diedrului format de semiplanele (AB, C și (AB, C′. Numiți un unghi plan corespunzător acestui diedru și justificați alegerea. b) Determinați măsura unghiului format de planele (ABC) și (ABC′). c) Două plane secante formează un unghi diedru cu măsura de 130°. Scrieți măsurile celor patru unghiuri diedre formate de aceste plane. Precizați apoi măsura unghiului celor două plane.
2. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Demonstrați că ∢VMO este unghiul plan corespunzător diedrului format de fața (VBC) cu planul bazei. b) Calculați măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC). c) Calculați lungimea apotemei VM.
3. În prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, latura bazei este AB = 8 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. Măsura unghiului format de planele (A′BC) și (ABC) este de 30°. a) Arătați că A′M ⊥ BC și precizați unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A′BC) și (ABC). b) Calculați înălțimea AA′ a prismei. c) Calculați aria triunghiului A′BC.
4. Triunghiul echilateral ABC și pătratul ABDE, cu AB = 6 cm, sunt situate în plane perpendiculare. Fie M mijlocul segmentului AB. a) Demonstrați că CM ⊥ (ABD). b) Calculați lungimea segmentului CD.
5. Triunghiurile isoscele ABC și ABD sunt situate în plane diferite și au baza comună AB = 10 cm. Se știe că CA = CB = 13 cm, DA = DB = 5√2 cm și CD = 13 cm. Fie M mijlocul segmentului AB. a) Arătați că ∢CMD este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (CAB) și (DAB). b) Demonstrați că planele (CAB) și (DAB) sunt perpendiculare.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în B. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara VA, cu VA = AB = 6 cm. a) Demonstrați că BC ⊥ (VAB). b) Demonstrați că planele (VAB) și (VBC) sunt perpendiculare. c) Determinați măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).
7. Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de lungime a. Fie O centrul pătratului ABCD. a) Demonstrați că ∢A′OA este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A′BD) și (ABD). b) Calculați tangenta și cosinusul unghiului format de planele (A′BD) și (ABC).
8. O casă are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lățimea de 8 m și lungimea de 10 m. Acoperișul are două ape, adică două fețe dreptunghiulare congruente, simetrice. Muchia de sus a acoperișului (coama) este paralelă cu lungimea casei și se află la 3 m deasupra planului tavanului. Fiecare apă a acoperișului pornește de la marginea de pe lungime a tavanului. a) Realizați un desen care modelează situația. Precizați unghiul plan corespunzător diedrului format de o apă a acoperișului cu planul tavanului. b) Calculați sinusul unghiului format de planul unei ape a acoperișului cu planul tavanului. c) Calculați aria totală a acoperișului.