Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Segmentul MN are lungimea de 12 cm, iar proiecția sa pe planul α este segmentul MN′. Calculează lungimea segmentului MN′ dacă: a) ∢(MN, α) = 30°; b) ∢(MN, α) = 45°; c) ∢(MN, α) = 60°.
2. Un segment PQ are lungimea de 10 cm. a) Determină măsura unghiului format de dreapta PQ cu planul β, știind că proiecția segmentului pe planul β are lungimea de 5 cm. b) Determină măsura acestui unghi dacă proiecția are lungimea de 5√2 cm. c) Explică de ce proiecția unui segment pe un plan nu poate fi mai lungă decât segmentul.
3. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm. a) Precizează proiecția dreptei DC′ pe planul (ABC) și calculează măsura unghiului format de dreapta DC′ cu planul (ABC). b) Calculează tangenta unghiului format de diagonala A′C cu planul (ABC).
4. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei AB = 8 cm și înălțimea VO = 4√6 cm, unde O este centrul bazei. a) Numește unghiul format de muchia laterală VA cu planul bazei. b) Calculează măsura acestui unghi. c) Calculează lungimea muchiei VA și verifică faptul că AO = VA · cos(∢VAO).
5. ABCA′B′C′ este o prismă triunghiulară regulată dreaptă, cu AB = 6 cm și AA′ = 2√3 cm. a) Calculează măsura unghiului format de dreapta A′B cu planul (ABC). b) Calculează lungimea segmentului A′B.
6. O rampă pentru role, de forma unui plan înclinat, are lungimea de 6 m și formează cu solul orizontal un unghi de 30°. a) Realizează un desen care modelează situația și marchează pe el unghiul dintre rampă și sol. b) Calculează înălțimea la care se află capătul de sus al rampei. c) Calculează lungimea proiecției rampei pe sol și arată că aceasta este mai mică de 5,3 m (se știe că √3 ≈ 1,73).
7. Un con circular drept are generatoarea de 10 cm, iar generatoarea formează cu planul bazei un unghi cu măsura de 60°. Calculează: a) raza bazei conului; b) înălțimea conului; c) aria bazei conului.
8. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 4 cm, BC = 3 cm și AA′ = 5 cm. a) Precizează proiecția diagonalei AC′ pe planul (ABC). b) Calculează măsura unghiului format de diagonala AC′ cu planul bazei (ABC). c) Calculează lungimea diagonalei AC′.