Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie d o dreaptă și α un plan. Precizați măsura unghiului ∢(d, α) în fiecare dintre cazurile: a) d ⊂ α; b) d ∥ α; c) d ⊥ α. d) Dacă d este secantă planului α și nu este perpendiculară pe α, explicați cum se determină unghiul dintre d și α. e) Între ce valori este cuprinsă măsura unghiului dintre o dreaptă oarecare și un plan oarecare?
2. Fie α un plan, A ∈ α, B ∉ α și C = prαB. Știind că AB = 14 cm și AC = 7√3 cm, determinați măsura unghiului format de dreapta AB cu planul α și calculați lungimea segmentului BC.
3. Segmentul AB, cu AB = 20 cm, are capătul A în planul α, iar dreapta AB formează cu planul α un unghi de 60°. Notăm B′ = prαB. Calculați: a) lungimea proiecției segmentului AB pe planul α; b) distanța de la punctul B la planul α.
4. Desenați cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm. a) Precizați proiecția dreptei A′C pe planul (ABC) și numiți unghiul format de dreapta A′C cu planul (ABC). b) Calculați lungimea proiecției segmentului A′C pe planul (ABC). c) Calculați tangenta unghiului format de dreapta A′C cu planul (ABC). d) Determinați măsura unghiului format de dreapta BC′ cu planul (ABC).
5. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 8 cm și înălțimea VO = 4√2 cm, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor bazei. a) Calculați lungimea proiecției segmentului VA pe planul (ABC). b) Determinați măsura unghiului format de dreapta VA cu planul (ABC). c) Demonstrați că BO ⊥ (VAC) și calculați lungimea proiecției segmentului VB pe planul (VAC).
6. Pe planul pătratului ABCD, cu AB = 6 cm, se ridică perpendiculara PA, cu PA = 2√6 cm. a) Determinați măsura unghiului format de dreapta PC cu planul (ABC). b) Demonstrați că BC ⊥ (PAB) și precizați proiecția segmentului PC pe planul (PAB). c) Calculați lungimea proiecției segmentului PC pe planul (PAB).
7. Un stâlp vertical cu înălțimea de 6 m este fixat pe un teren orizontal. De vârful stâlpului se prinde un cablu întins, fixat în pământ, care formează cu planul terenului un unghi de 60°. Realizați un desen care modelează situația și calculați: a) lungimea cablului; b) distanța de la baza stâlpului până la punctul în care cablul este fixat în pământ (lungimea proiecției cablului pe planul terenului).
8. a) Folosind formula A′B′ = AB · cos(∢(AB, α)), explicați de ce lungimea proiecției unui segment pe un plan nu poate fi mai mare decât lungimea segmentului. În ce situație cele două lungimi sunt egale? b) Triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 10 cm, are latura BC inclusă în planul α, iar A ∉ α. Punctul M este proiecția punctului A pe planul α și AM = 5 cm. Determinați măsura unghiului format de dreapta AB cu planul α și lungimea proiecției segmentului AB pe planul α.