Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Un segment MN are lungimea de 12 cm și se proiectează pe un plan α după segmentul M'N'. Calculează lungimea proiecției M'N' în fiecare dintre cazurile următoare: a) unghiul format de dreapta MN cu planul α are 60°; b) unghiul format de dreapta MN cu planul α are 30°; c) dreapta MN este paralelă cu planul α; d) dreapta MN este perpendiculară pe planul α. Precizează formula folosită.
2. Segmentul AB are lungimea de 14 cm, iar proiecția sa pe planul β are lungimea de 7√3 cm. Determină măsura unghiului format de dreapta AB cu planul β.
3. Punctele A și B se află de aceeași parte a planului α și au proiecțiile A', respectiv B', pe acest plan. Se știe că AA' = 3 cm, BB' = 9 cm și A'B' = 6√3 cm. Determină: a) lungimea segmentului AB; b) măsura unghiului format de dreapta AB cu planul α. (Indicație: construiește AC ∥ A'B', cu C ∈ BB'.)
4. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia de 6 cm. a) Determină măsura unghiului dintre dreapta AD' și planul (ABC). b) Precizează proiecția segmentului A'C pe planul (ABC) și calculează lungimea acesteia. c) Calculează tangenta unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABC).
5. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu baza ABCD, cu AB = 6 cm și înălțimea VO = 3√6 cm, unde O este centrul bazei. Calculează: a) măsura unghiului dintre dreapta VA și planul (ABC); b) lungimea muchiei VA; c) lungimea proiecției muchiei VA pe planul (ABC) și verifică rezultatul cu formula l' = l · cos u.
6. Pe planul pătratului ABCD, cu latura AB = 4 cm, se ridică perpendiculara PA, cu PA = 4√2 cm. a) Justifică faptul că proiecția dreptei PC pe planul (ABC) este dreapta AC. b) Calculează măsura unghiului dintre dreapta PC și planul (ABC). c) Calculează tangenta unghiului dintre dreapta PB și planul (ABC) și lungimea proiecției segmentului PB pe acest plan.
7. Un stâlp vertical are înălțimea de 8 m. De vârful stâlpului se prinde un cablu întins, fixat în sol într-un punct aflat la 6 m de baza stâlpului. Solul este considerat un plan orizontal. a) Calculează lungimea cablului. b) Calculează cosinusul și tangenta unghiului format de cablu cu planul solului. c) Explică de ce lungimea proiecției cablului pe sol este 6 m.
8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' se cunosc AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 10 cm. a) Determină măsura unghiului format de dreapta BD' cu planul (ABC). b) Calculează lungimea diagonalei BD'. c) Precizează proiecția segmentului BD' pe planul (ADD') și calculează lungimea acesteia.